Zad. 1. Ile przekątnych ma graniastosłup prawidłowy n-kątny?
Zad. 2. W równoległobok o przekątnych długości 1 i 2 wpisano romb (każdy wierzchołek rombu leży na innym boku równoległoboku), którego boki są równoległe do przekątnych równoległoboku. Oblicz długość boku rombu.
Zad. 3. Definiujemy działanie ♥ na liczbach naturalnych (z zerem): a♥b = 7, gdy ab=0, a w przeciwnym razie a♥b = (0♥b) + (c♥b), gdzie c jest resztą z dzielenia a przez b. Czy taka definicja pozwala obliczyć a♥b dla dowolnych a i b naturalnych?
Zadania z maja okazały się trudniejsze od kwietniowych i maksymalną ocenę (3 pkt) zdobyli za nie tylko: Daniel Danielski, Antoni Machowski, Karol Sala, Adrian Słodziński, Marcin Oktawian Szatkowski i Arkadiusz Wróbel.
W ostatnim miesiącu Ligi Gimnazjalnej czołówkę staniowią:
- z 23,5 pkt. na 24 możliwe - Daniel Danielski z Gim. 1 w Zgorzelcu i Antoni Machowski z Gim. 52 w Krakowie,
- z 23 pkt. - Karol Sala z ZSP-G 2 w Piotrowicach i Arkadiusz Wróbel z Gim. 2 w Brwinowie,
- z 22 pkt. - Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu,
- z 21,5 pkt. - Natalia Marcinkiewicz z Gim. "Omega" w Katowicach.
Serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Każda przekątna ma koniec w jednym z n wierzchołków górnej podstawy i z jednego wierzchołka wychodzą n–3 przekątne. Wszystkich jest zatem n(n–3). (Przekątne ścian graniastosłupa nie są przekątnymi graniastosłupa!)
Zad. 2. Oznaczmy punkty występujące w zadaniu tak, by wierzchołek M rombu należał do boku AB równoległoboku, dłuższa przekątna miała jeden koniec w A, a krótsza - w B. Niech x będzie szukaną długością. Wówczas z podobieństwa trójkątów (twierdzenia Talesa): x/2 = BM/AB i x/1 = AM/AB. Po dodaniu tych równości stronami otrzymujemy 3/2·x = 1, czyli x = 2/3.
Zad. 3. Podana definicja jest sprzeczna, ponieważ 1♥2 = (0♥2) + (1♥2) po odjęciu stronami 1♥2 daje 0=7.
