Zad. 1. Psychologowie przeprowadzają następujący eksperyment na ludziach: każdy z 10 ochotników wybiera liczbę 0, 1 lub 2. Jaka jest szansa, że przynajmniej jedna osoba wybierze 0, przynajmniej jedna jedynkę, a nikt dwójki, gdyby założyć, że wszystkie te wybory odbywają się niezależnie i całkiem losowo?
Zad. 2. Jak znaleźć zbiór wartości funkcji y=x4–3x2 ?
Zad. 3. Położone w przestrzeni punkty A i B są odległe o 1. Oblicz objętość części wspólnej kuli o promieniu 1 i środku A i kuli o promieniu 1 i środku B.
Za rozwiązania zadań czerwcowych po 3 pkt przyznaliśmy: Karolinie Łagodzie, Jakubowi Mazurowi, Markowi Mice, Michałowi Tomańskiemu i Arkadiuszowi Wróblowi.
W tegorocznej Lidze Zadaniowej Szkół Ponadgimnazjalnych wzięło udział 59 osób. W czołówce po ostrej rywalizacji znaleźli się (w nawiasie podajemy liczby punktów na 27 możliwych):
I m. - Michał Tomański z II LO w Opolu (27 pkt),
II m. - Marek Mika z II LO w Opolu (24,5 pkt),
III m. - Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie (24 pkt),
IV m. ex aequo - Adam Balawender z ZSO w Strzegomiu i Bartosz Pawliczak z LO w Górze (23,5 pkt),
V m. - Piotr Bartoszek z III LO w Kaliszu (23 pkt),
VI m. - Agnieszka Lewicka z II LO w Opolu (21,5 pkt),
VII m. - Karolina Łagoda z II LO w Opolu (21 pkt),
VIII m. - Dorota Mularczyk z III LO w Kaliszu (20,5 pkt),
IX m. - Michał Pilarczyk z I LO w Wieluniu (17,5 pkt),
X m. - Tomasz Skalski z III LO we Wrocławiu (17 pkt).
Serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Każdej z 10 osób możemy niezależnie przypisać jedną z dwóch możliwości (wszystkich byłoby zatem 2·2·2·...·2 = 210) poza dwiema możliwościami - dziesięciu zer i dziesięciu jedynek. Układów sprzyjających jest więc 1022, a wszystkich - 310, czyli szukane prawdopodobieństwo to 1022/59049.
Zad. 2. y = (x2 – 3/2)2 – 9/4. Wyrażenie w nawiasie ma zbiór wartości [-3/2, ∞), zatem całość – [-9/4, ∞). Wielu Ligowiczom przyznaliśmy tylko 0,5 pkt za to zadanie, ponieważ używali argumentu w rodzaju "wyrażenie x2 ma zbiór wartości [0, ∞), bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny". Takie uzasadnienie jest błędne - przesłanka jest oczywiście prawdziwa, ale nie wystarcza do ustalenia zbioru wartości, patrz np. wyrażenie sin2x.
Zad. 3. Opisana figura to dwa odcinki danych kuli o strzałce 1/2. Szukana objętość to zatem 2/3·π·1/4(3–1/2) = 5π/12.
Zad. 3
Zastanawiam się ciągle nad zad. 3... To trzeba robić z całek czy można jakoś na logikę rozpisać?? Ja zadań z całek nigdy jeszcze nie robiłem (I liceum) i za bardzo nie wiem, jak się za to zabrać (może jednak opanuję jakieś podstawy, jeśli to konieczne)...
Zad. 3
Zezwalamy oczywiście na użycie wzorów, które bez trudu można znaleźć w Internecie oraz różnego rodzaju wydawnictwach matematycznych. (Są one zwykle rzeczywiście wyprowadzane technikami rachunku całkowego, chociaż do ich znalezienia wystarczą w zasadzie odpowiednio wykonywane przejścia graniczne w geometrii).
Odpowiedzi
Jest! Odpowiedzi do wszystkich zadań mam dobre; bałem się trochę o pierwsze zadanie, bo nie miałem prawdopodobieństwa w szkole, ale rozważałem na logikę - tak samo, jak jest to w rozwiązaniu podanym powyżej;) Pozdrawiam i dziękuję za możliwość udziału w tego typu konkursie, teraz pozostaje czekać na wyniki
Zad. 2
Jestem jednym z tych, którzy właśnie dostali 0,5 pkt za zadanie 2... i w związku z tym mam pytanie, bo nie wiem czy dobrze zrozumiałem (a nie chcę popełnić podobnego błędu w przyszłości): wystarczyło napisać " y = (x2 – 3/2)2 – 9/4. Wyrażenie w nawiasie ma zbiór wartości [-3/2, ∞), zatem całość – [-9/4, ∞). ", aby dostać cały punkt (czy może trzeba było jeszcze coś dopisać?)?
Czyli po prostu dodatkowe stwierdzenie, iż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, w związku z czym: $( x^2 - 1,5)^2 \geq 0$ skutkowało utratą 0,5 pkt?
No cóż... nie udało się, trudno.
Zadanie 2
Policzyłem wierzchołek paraboli wypukłej y = t^2 - 3t dla t = x^2 i ustaliłem, że funkcja ta przyjmuje wartości od -9/4 do ∞. Proszę o wskazanie błędu w rozumowaniu.
W związku ze wzmianką o funkcji sinus, przychodzi mi na myśl tylko jedno: sin^2 x przyjmuje wartości od 0 do 1, a nie od 0 do ∞ ...
Tyle, że tak samo (x^2 – 3/2) przyjmuje wartośi od -3/2 do ∞, (sin^2 x – 3/2) przyjmuje wartośi od -3/2 do -1/2. Proszę więc również, o ile nie będzie to już wyjaśnione, o opisanie szerzej błędu wspomnianego w odpowiedzi.
Dziękuję za ciekawy konkurs i z góry za odpowiedź.