Zad. 1. Jakie liczby naturalne dają się przedstawić jako różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych?
Zad. 2. Średnicą koła k1 jest odcinek AB, średnicą koła k2 - odcinek BC. Oblicz pole części wspólnej k1, k2 i trójkąta ABC, jeśli wiadomo, że jest on równoboczny i ma pole √3.
Zad. 3. Opisz, jak bez użycia pochodnych można obliczyć odległość paraboli y=x2 od prostej y=2x-5.
Za rozwiązania zadań z maja maksymalną ocenę 3 pkt uzyskało aż dziewięcioro zawodników: Adam Balawender, Piotr Bartoszek, Agnieszka Lewicka, Karolina Łagoda, Marek Mika, Dorota Mularczyk, Bartosz Pawliczak, Michał Tomański i Arek Wróbel.
Czołówka rankingu Ligi przedstawia się teraz zatem następująco:
- z 24 pkt (na 24 możliwe!) - Michał Tomański z II LO w Opolu,
- z 21,5 pkt - Marek Mika z II LO w Opolu,
- z 21 pkt - Adam Balawender z ZSO w Strzegomiu, Bartosz Pawliczak z LO w Górze i Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 20,5 pkt - Piotr Bartoszek z III LO w Kaliszu i Agnieszka Lewicka z II LO w Opolu,
- z 19,5 pkt - Dorota Mularczyk z III LO w Kaliszu,
- z 18 pkt - Karolina Łagoda z II LO w Opolu,
- z 17,5 pkt - Michał Pilarczyk z I LO w Wieluniu,
- z 17 pkt - Tomasz Skalski z III LO we Wrocławiu,
- z 16 pkt - Paweł Sikora z IV LO we Wrocławiu.
Gratulujemy!!!
Zad. 1. Jeśli n=x2-y2, to znaczy, że daje się zapisać jako iloczyn liczb całkowitych x+y i x-y. Każde n naturalne można zapisać jako iloczyn całkowitych a i b i mamy wówczas: x=(a+b)/2, y=(a-b)/2, co daje szukany zapis jako różnica kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy a i b są tej samej parzystości. Nie dają się więc tak zapisać liczby postaci 2k dla k nieparzystych i tylko takie. (Równoważnie: liczby parzyste niepodzielne przez 4; równoważnie: liczby dające przy dzieleniu przez 4 resztę 2).
Zad. 2. Opisaną figurę można rozciąć na części, z których da się złożyć trójkąt równoramienny o ramionach długości 1 i kącie rozwarcia 120° oraz odcinek kołowy będący różnicą 1/3 koła o promieniu 1 i powyższego trójkąta, szukane pole to zatem π/3.
Zad. 3. Punkt paraboli realizujący tę odległość leży na prostej równoległej do danej mającej z podaną parabolą dokładnie jeden punkt wspólny. Aby znaleźć tę prostą, szukamy więc b, dla którego układ równań y=x2 i y=2x+b (a zatem i równanie kwadratowe x2=2x+b) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Mając równanie tej prostej, opisany punkt znajdujemy, rozwiązując powyższy układ równań. Następnie możemy znaleźć przechodzącą przezeń prostą prostopadłą do y=2x-5, której punkt przecięcia z nią jest jej punktem dającym szukaną odległość.
