Zad. 1. Rozwiąż równanie [tex]{\sin x}^{\cos^2 x-1,5\cos x+0,5}=1[/tex].
Zad. 2. Czy trzy liczby mogą być jednocześnie kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i geometrycznego? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 3. W ostrokątny trójkąt ABC wpisano trójkąt DEF, tak że wierzchołek D leży na boku AC, wierzchołek E - na boku BC, a wierzchołek F - na boku AB. Jak wybrać położenie wierzchołków D, E i F, aby obwód trójkąta DEF był najmniejszy?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Piotr Paduszyński SLO Żary, Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
- 2 pkt. - Robert Czwartosz LO Trzebnica;
- 1,5 pkt. - Szymon Meyer II LO Opole;
- 1 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1 punktu.
Po dziewięciu miesiącach Ligi Zadaniowej Szkół Ponadgimnazjalnych w czołówce znaleźli się (w nawiasach podajemy liczby zdobytych punktów na 27 możliwych):
- (26,5) Tomasz Stempniak,
- (26) Bartosz Czyżewski,
- (25,5) Piotr Paduszyński,
- (23) Robert Czwartosz,
- (21,5) Szymon Meyer, Wojciech Wiśniewski,
- (20) Kamila Bojar,
- (17,5) Konrad Budzyński IX LO Wrocław,
- (16,5) Dawid Hanrahan I LO Brzeg,
- (13) Krzysztof Bednarek III LO Wrocław,
- (11,5) Piotr Jażdżewski I LO Olesnica, Marta Włóczyk OSSP Opole,
- (10,5) Konrad Piechota IX LO Wrocław.
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Równanie to można zapisać równoważnie jako sinx(cosx-1)(cosx-0,5)=1.
Teraz można rozważyć przypadki, gdy:
a) sinx=1 i wykładnik jest dowolny,
b) sinx≠0 i wykładnik jest równy zero,
c) sinx=-1 i wykładnik jest dodatnią liczbą parzystą.
Ostatni przypadek nigdy nie zachodzi, zatem wyjściowe równanie jest spełnione przez liczby
postaci [tex] \frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\; \ \frac{\pi}{3}+2k\pi,\;\; \ \frac{-\pi}{3}+2k\pi, \ \;\; k\in\mathbf{Z} .[/tex]
Zad. 2. Niech a, b i c, będą kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy r i geometrycznego o ilorazie q. Wtedy z własności ciągu geometrycznego zachodzi a·c=b2, co po zastosowaniu własności ciągu arytmetycznego daje (b-r)·(b+r)=b2. Stąd r=0, czyli a=b=c. Zatem trzy liczby mogą być jednocześnie kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i arytmetycznego tylko wtedy, gdy jest to ciąg stały.
Zad. 3. Obwód trójkąta DEF będzie najmniejszy, gdy będzie on trójkątem spodkowym trójkąta ABC, tzn. gdy punkty D, E i F będą spodkami wysokości opuszczonych z wierzchołków B, A i C. Można to uzasadnić nie wprost, obierając jeden z tych punktów poza spodkiem wysokości i wykorzystując nierówność trójkata. W zasadniczej części dowód ten jest analogiczny do przedstawionego w zadaniu GIM3.
