Zad. 1. Liczba 444…4441 jest kwadratem. Czy w jej zapisie dziesiętnym może występować nieparzyście wiele czwórek?
Zad. 2. Znajdź największy wspólny dzielnik wszystkich liczb postaci p6 − 7p2 + 6 dla pewnej niejednocyfrowej liczby pierwszej p.
Zad. 3. Na pewnej planecie rok trwa 365 dni, a miesiące mają 28, 30 lub 31 dni. Czy rok kalendarzowy na tej planecie musi składać się z 12 miesięcy?
W tym miesiącu 11 pkt. zdobył Szymon Michalik, SP 3 Przymierza Rodzin Warszawa.
Zad. 1. Rozważmy resztę z dzielenia liczby 444…4441 przez 11. Jest ona taka sama, jak reszta z dzielenia liczby 1 − 4 + 4 − 4 + ... + 4 − 4 + 4 − 4 = -3 ≡ 8 (dlaczego?). Żaden kwadrat nie przystaje do 8 modulo 11, zatem w zapisie dziesiętnym tej liczby nie może występować nieparzyście wiele czwórek.
Zad. 2. Oznaczmy f(p) = p6 − 7p2 + 6. Po pierwsze, zauważmy, że NWD nie może być podzielny przez liczbę pierwszą r większą od siedmiu, gdyż wówczas zachodziłoby r|NWD|(r6−7r2+6), co implikowałoby r|6. Zatem w rozkładzie NWD na czynniki wystąpią jedynie 2, 3, 5 i 7.
Zauważmy, że f(p) = (p2−1)(p2−2)(p2+3).
- Spośród czynników (p+1)(p−1) jeden jest podzielny przez 2, a drugi przez 4, więc ich iloczyn (p2−1) jest podzielny przez 8. Jednocześnie (p2+3) = (p2−1)+4 jest podzielny przez 4. Zatem f(p) jest podzielne przez 25. Nie musi być podzielne przez 26, co możemy sprawdzić dla f(11).
- Spośród czynników (p2−1)(p2−2)(p2+3) dokładnie jeden jest podzielny przez 3, mamy więc 3|f(p), przy czym f(11) nie jest wielokrotnością dziewiątki.
- Liczba f(13) nie jest wielokrotnością piątki.
- Dla p>7 reszta z dzielenia przez 7 liczby p2 wynosi 1, 2, 4. W każdym z tych przypadków któryś z czynników (p2−1)(p2−2)(p2+3) jest podzielny przez 7. Liczba f(11) nie jest wielokrotnością 49. Uwaga: jak udowodnić ten punkt, używając małego twierdzenia Fermata?
Zad. 3. Gdyby rok miał co najmniej trzynaście miesięcy, składałby się co najmniej z 13·28=364 dni. Jednak zwiększenie liczby dni któregokolwiek miesiąca do 30 powoduje, że w kalendarzu wystąpi co najmniej 366 dni, co dowodzi, że na tej planecie rok ma co najwyżej dwanaście miesięcy. Nie może mieć też jedenastu miesięcy, bo wówczas mógłby mieć co najwyżej 11·31=341 dni, czyli za mało. Pozostaje jeszcze pokazać, że istotnie da się skonstruować dwunastomiesięczny rok z miesiącami o odpowiedniej liczbie dni, ale producenci zeszłorocznych ziemskich kalendarzy zrobili to za nas.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
