Zad. 1. Na choince wiszą cukierki. Wiadomo, że przynajmniej jeden cukierek jest czekoladowy i przynajmniej dwa są kokosowe. Nadia, a po niej jej młodsza siostra Lena, zdjęły z choinki po jednym cukierku. Prawdopodobieństwo, że cukierek Nadii był czekoladowy, jest 42 razy większe niż prawdopodobieństwo, że obie dziewczynki wybrały cukierki kokosowe. Ile cukierków kokosowych i ile czekoladowych wisiało na choince?
Zad. 2. Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie mniejsze od 200, dla których suma różnych dzielników pierwszych wynosi 16 (np. suma różnych dzielników pierwszych liczby 18 to 2+3 = 5).
Zad. 3. Jeśli długości boków a, b, c trójkąta spełniają równość 3/(a+b+c ) = 1/(a+b) + 1/(a+c), to jaki jest kąt między bokami b i c?
W grudniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa
- 2,5 pkt. – Jakub Dobrzański I LO Lubin
- 1,5 pkt. – Bartłomiej Zug LO Olesno, MMarcin Wiśniewski LO Ząbkowice Śląskie.
- 1 pkt. – Zuzanna Szymańska VIII LO Wrocław, Mikołaj Zapotoczny LO Ząbkowice Śląskie.
Zad. 1. Niech k i c oznaczają odpowiednio liczbę cukierków kokosowych i czekoladowych. Z warunków zadania mamy [tex]\frac {c }{k + c} = 42\cdot\frac{ k \cdot (k - 1)}{ (k + c) \cdot (k + c - 1)}[/tex] lub równoważnie c2 + (k−1)c − 42k(k−1) = 0. Traktujemy to równanie jako kwadratowe ze zmienną c i parametrem k. Jego wyróżnik wynosi (k−1)2 + 168k(k−1) = 169k2–170k+1, co musi być kwadratem liczby całkowitej, bo w przeciwnym razie pierwiastki (a wiec liczba cukierków) nie byłyby całkowite. Z warunku k≥2 otrzymujemy nierówności
(13k−6)2 = 169k2–156k+36 > 169k2–170k+1 > 169k2−208k+64 = (13k−8)2.
Liczba 169k2–170k+1 musi więc być równa (13k−7)2, co pociąga za sobą 12k=48, czyli k = 4. Po podstawieniu otrzymujemy c=-24 lub c=21, ale rozwiązanie ujemne odrzucamy. Ostatecznie są 4 cukierki koksowe i 21 czekoladowych.
Zad. 2. Liczba 16 może być zapisana jako suma różnych liczb pierwszych następująco: 2+3+11, 3+13 lub 5+11. Zatem szukamy liczb mniejszych od 200, które mają rozkład na czynnniki pierwsze jednej z postaci 2a.3b.11c lub 3a.13b lub 5a.11b, gdzie a, b, c są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Otrzymujemy 2.3.11 = 66, 22.3.11 = 132, 2.32.11 = 198, 3.13 = 39, 32.13 = 117 oraz 5.11 = 55.
Zad. 3. Z warunku zadania mamy 3/(a+b+c ) = (2a+b+c)/(a+b)(a+c). Po pomnożeniu obu stron równości przez iloczyn wyrażeń w mianownikach otrzymamy
3(a2+ab+ac+bc) = 2a2+b2+c2 + 3(ab+ac) + 2bc, czyli a2 = b2+c2−bc.
Tymczasem z twierdzenia kosinusów mamy a2 = b2 + c2 − 2bccosα. Stąd cosα = 1/2 , czyli α = 60°.
