Zad. 1. Z sześcianu płaszczyznami przechodzącymi przez środki krawędzi o wspólnym końcu odcięto wszystkie naroża. Ile jakich ścian ma powstała bryła?
Zad. 2. W układzie współrzędnych połączono odcinkiem punkty (-100,-2008) i (101, 2009). Ile punktów o obu współrzędnych całkowitych (poza końcami) na nim leży?
Zad. 3. Ile pierwiastków może mieć równanie x2+ax=1, jeśli a jest pewną liczbą całkowitą?
Bezbłędne rozwiązania zadań grudniowych (za 3 pkt.) nadesłali: Daniel Danielski z G 1 w Zgorzelcu, Karol Kaszuba z G 42 w Warszawie, Antoni Machowski z G 52 w Krakowie, Michał Majborski z G 1 w Jaworzynie Śląskiej, Michalina Sieradzka z G 49 we Wrocławiu, Jadwiga Słowik z G 24 w Gdyni oraz Arkadiusz Wróbel z G w Brwinowie.
Po 2,5 pkt. zdobyli: Rania Mukalled z G 1 w Jeleniej Górze i Radosław Szerląg z G 2 w Oświęcimiu.
Na początku nowego roku w Lidze Gimnazjalnej prowadzą:
- 9 pkt. Daniel Danielski z G 1 w Zgorzelcu, Antoni Machowski z G 52 w Krakowie, Michalina Sieradzka z G 49 we Wrocławiu, Jadwiga Słowik z G 24 w Gdyni i Arkadiusz Wróbel z G w Brwinowie,
- 8,5 pkt. Rania Mukalled z G 1 w Jeleniej Górze,
- 8 pkt. Marcin Stankiewicz z G 1 w Bogatyni,
- 7,5 pkt. Katarzyna Kaczmarczyk z G 13 w Wałbrzychu, Dawid Przystupski z G 2 w Wołowie, Radek Szerląg z G 2 w Oświęcimiu.
Gratulujemy!
Zad. 1. Z każdego naroża powstanie równoboczna ściana trójkątna (jest ich więc 8), a w płaszczyźnie każdej "starej" ściany powstanie nowa, też kwadratowa (więc jest ich 6).
Zad. 2. Niech P będzie punktem kratowym na tym odcinku najbliższym końca K1(-100, -2008). Odkładając odcinek K1P na danym odcinku, począwszy od K1, jak długo się da, dojdzie się do punktu K2(101, 2009) albo jakiegoś X, takiego że XK2 jest krótszy od K1P, ale wówczas odcinek XK2 dałoby się odłożyć od K1, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem K1K2 jest pewną wielokrotnością K1P. Oznaczmy ją przez n (=K1K2/K1P). Oznacza to, że n jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 101-(-100)=201 i 2009-(-2008)=4017, a ponieważ NWD(201, 4017)=3, mamy: K1K2=3·K1P, czyli na danym odcinku poza końcami są dwa punkty kratowe (w 1/3 i 2/3 jego długości).
Zad. 3. Mamy równanie równoważne: (x+a/2)2 = 1 + a2/4. Dla każdego a wartość wyrażenia 1 + a2/4 jest dodatnia, więc równanie ma zawsze 2 pierwiastki.
