Zad. 1. W romb o boku b i kącie ostrym α wpisano okrąg. Oblicz pole czworokąta powstałego przez połączenie kolejnych punktów styczności.
Zad. 2. Znajdź (podając rachunki) część całkowitą liczby [TEX]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2010}+\sqrt{2011}}\ .[/TEX]
Zad. 3. Liczby a, b, c, d, e, f to kolejne cyfry pewnej liczby naturalnej zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie p. Jak na podstawie a, b, c, d, e, f i p ustalić, czy jest to liczba parzysta? Uzasadnij!
Za rozwiązania zadań z grudnia po 3 pkt otrzymali: Adam Balawender, Piotr Bartoszek, Agnieszka Lewicka, Karolina Łagoda, Marek Mika, Dorota Mularczyk, Michał Pilarczyk, Bartosz Romanowski, Paweł Sikora, Tomasz Skalski, Marcin Sroka, Michał Tomański oraz Kamil Zuber. Wielu Ligowiczów straciło punkty prawdopodobnie przez niestaranność - pomyłki rachunkowe, nieudzielanie odpowiedzi na pytania i in.
Sumarycznie w Lidze Ponadgimnazjalnej prowadzą:
-
z 9 pkt na 9 możliwych - Adam Balawender (ZSO Strzegom), Agnieszka Lewicka (II LO Opole), Karolina Łagoda (II LO Opole), Marek Mika (II LO Opole), Dorota Mularczyk (III LO Kalisz), Michał Pilarczyk (I LO Wieluń), Bartosz Romanowski (LO Wieluń), Tomasz Skalski (III LO Wrocław), Marcin Sroka (II LO Ruda Śl.) i Michał Tomański (II LO Opole);
- z 8,5 pkt - Adrian Madej (V LO Legnica), Bartosz Pawliczak (LO Góra) i Arek Wróbel (XIV LO Warszawa);
- z 8 pkt - Piotr Bartoszek (III LO Kalisz).
Wszystkim serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Prosta analiza kątów wykazuje, że powstały czworokąt to prostokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem α, a ich długość to wysokość rombu, czyli bsinα. Szukane pole to zatem 1/2·(bsinα)2·sinα = (b2sin3α)/2.
Zad. 2. Dzięki wzorom skróconego mnożenia możemy daną sumę zapisać jako
((√2-√1)+(√3-√2)+...+(√2011-√2010))/1 = √2011-1,
a ponieważ 2011$\in$(442,452), odpowiedzią jest 43.
Zad. 3. Dana liczba ma wartość a·p5+b·p4+c·p3+d·p2+e·p+f, więc przy p parzystym całość jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy f jest parzyste, natomiast przy p nieparzystym całość jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy parzyście wiele pośród liczb a, b, c, d, e, f (a zatem - równoważnie - i pośród a·p5, b·p4, c·p3, d·p2, e·p oraz f) jest nieparzystych.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
Zadanie 3
Czy ta liczba to
abcdef czy fedcba? Tzn. czy a odpowiada p z wykładnikiem 0 czy 5?
Tak jak wyżej
Dołączam się do pytania, bo także według mnie można to interpretować dwuznacznie.
Kolejność cyfr
Przez kolejne cyfry np. liczby 123 rozumiemy 1, 2 i 3.