Zad. 1. NOPRST jest sześciokątem foremnym o boku 1. Jaka jest długość wektora [TEX]\vec{ON}+\vec{OP}+\vec{OR}+\vec{OS}+\vec {OT}\ ?[/TEX]
Zad. 2. Czy liczba o zapisie siódemkowym 12345601234560123456012345601234560 dzieli się przez 14? Odpowiedź krótko uzasadnij.
Zad. 3. Ile liczb naturalnych trzeba co najmniej wylosować, żeby mieć gwarancję, że suma elementów pewnego ich podzbioru dzieli się przez 10?
- W listopadzie pełne prawidłowe odpowiedzi nadesłało 25 Ligowiczów: Adam Balawender, Piotr Bartoszek, Paweł Florczuk, Piotr Godlewski, Agnieszka Lewicka, Karolina Łagoda, Adrian Madej, Adam Malinowski, Marek Mika, Dorota Mularczyk, Bartosz Olszanowski, Bartosz Pawliczak, Michał Pilarczyk, Bartosz Romanowski, Paweł Samoraj, Paweł Sikora, Tomasz Skalski, Michał Smreczak, Marcin Sroka, Michał Stroka, Michał Tomański, Rafał Włodarski, Bartosz Włodowski, Arek Wróbel i Mariusz Żywica.
- Po 2,5 pkt przyznaliśmy Omarowi Adhamowi i Krzysztofowi Galikowi.
- Tym samym w rankingu na I pozycji (6 pkt na 6 możliwych) są: Adam Balawender, Paweł Florczuk, Piotr Godlewski, Agnieszka Lewicka, Karolina Łagoda, Adrian Madej, Marek Mika, Dorota Mularczyk, Bartosz Olszanowski, Bartosz Pawliczak, Michał Pilarczyk, Bartosz Romanowski, Tomasz Skalski, Michał Smreczak, Marcin Sroka, Michał Tomański, Rafał Włodarski, Arek Wróbel i Mariusz Żywica.
- Po 5,5 pkt mają: Omar Adham, Krzysztof Galik i Michał Stroka.
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Z foremności sześciokąta wynika, że [tex]\vec{OQ}=\vec{NR}[/tex], a [tex]\vec{OS}=\vec{PR}[/tex], zatem sumę daną w zadaniu można zapisać jako [tex]\vec{ON}+\vec{OP}+\vec{NR}+\vec{OR}+\vec{PR}[/tex], co dzięki przemienności i łączności dodawania jest tym samym co [tex](\vec{ON}+\vec{NR})+(\vec{OP}+\vec{PR})+\vec{OR}[/tex], czyli [tex]3\vec{OR}[/tex]. Ponieważ sześciokąt formeny można rozciąć na 6 przystających trójkątów równobocznych, widać, że długość tego wektora to 6.
Zad. 2. Jeśli liczba ta ma n cyfr, to jej wartość to [tex]1\cdot7^{k_1}+2\cdot7^{k_2}+3\cdot7^{k_3}+...+6\cdot7^{k_{n-1}}[/tex], gdzie wszystkie wykładniki są dodatnie. Parzystość całej sumy jest więc taka jak parzystość liczby jej nieparzystych składników, a tych - jak łatwo stwierdzić - jest 15 (trzy razy tyle co zer), więc dana liczba jest nieparzysta, czyli nie dzieli się przez 14. Nie uznawaliśmy za pełne odpowiedzi, w których nie uzasadniono nieparzystości danej liczby. Natomiast sporo zawodników zupełnie niepotrzebnie uzasadniało jej podzielność przez 7.
Zad. 3. 9 liczb nie wystarczy - mogłyby to bowiem być np. 11, 21, 31, ..., 91, a jak łatwo się przekonać, żaden zbiór złożony z którychkolwiek z nich nie ma sumy elementów podzielnej przez 10. Jeśli z kolei wylosujemy dowolnych 10 liczb: k1, k2, k3, ..., k10, to popatrzmy na zbiory {k1}, {k1, k2}, {k1, k2, k3}, ..., {k1, k2, k3, ..., k10}. Jeśli żaden z nich nie ma sumy elementów podzielnej przez 10, to sumy elementów pewnych dwóch dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 10 (bo wszystkich możliwych takich reszt jest wówczas 9: 1, 2, ..., 9), a zatem różnica tych zbiorów (większy odjąć mniejszy) jest podzbiorem wylosowanych liczb o sumie elementów podzielnej przez 10. Odpowiedzią jest więc 10.
W zadaniu 2 liczba 14 jest
W zadaniu 2 liczba 14 jest zapisana w systemie dziesiętnym, czy siódemkowym?
14
W dziesiętnym! (Skoro do tego zapisu nie ma żadnej uwagi...)
Pobieżnie sprawdzając
Pobieżnie sprawdzając, to nie wpłynęłoby znacznie na wynik :)
Czy na pewno?
W zadaniu 3 szukaliśmy podzbioru liczb naturalnych. Do liczb naturalnych zaliczamy także 0, które nie jest liczbą złożoną, więc nie ma dzielników. Dlatego np. zbiór {0, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91} zaprzecza temu, że wystarczy wylosować tylko 10 liczb. Możliwe że się mylę, ale według mnie poprawną odpowiedzią jest 11.
0
Zamiast nieco kontrowersyjnego zera (większość definicji nie uważa zera za liczbę naturalną, a jeśli już, to jest to liczba złożona, bo ma nieskończenie wiele dzielników) można by wziąć dowolną inną liczbę podzielną przez 10, ale wówczas przecież (podobnie jak przy zerze) zbiór złożony z tylko tej liczby ma sumę elementów podzielną przez 10. Stąd wniosek, że takiej liczby brać nie powinniśmy, bo już ona sama nie spełnia warunków zadania!
Ale co to znaczy
Ale co to znaczy, że nie powinniśmy? Jeśli taką liczbę jednak wylosujemy, to nadal nie mamy takiego podzbioru, którego suma byłaby podzielna przez 10. Aby suma podzbioru była podzielna przez 10 wystarczy, że mielibyśmy 2 liczby podzielne przez 10, a resztę z 1 na miejscu jedności. Otrzymalibyśmy wtedy np. taki zbiór {1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 20, 30}. Bez ostatniej liczby żadna z sum podzbioru nie byłaby podzielna przez 10.
Zero jest podzielne
Zero jest podzielne przez każdą liczbę kolego. Więc jeżeli je wylosujesz, to zbiór złożony z samego zera będzie szukanym podzbiorem podzielnym przez 10.
W zadaniu jest wyraźnie napisane
Ale w zadaniu jest wyraźnie napisane, by suma podzbiorów, a nie by jedna liczba była podzielna przez 10.
Przestań się sprzeczać!
Treść zadania: Ile liczb naturalnych trzeba co najmniej wylosować, żeby mieć gwarancję, że suma elementów pewnego ich podzbioru dzieli się przez 10?
"Ale w zadaniu jest wyraźnie napisane, aby suma podzbiorów a nie jedna liczba była podzielna przez 10."
Z zadania wynika, że trzeba rozpatrywać dowolnie wybrane podzbiory, a przecież istnieje takie coś, jak singleton, czyli zbiór jednoelementowy! W związku z tym gdy wylosujemy choć jedno 0, warunki zadania są już spełnione (bo samo 0 dzieli się przez 10). Jeśli te argumenty nadal Cię nie przekonały, to odwołam się do wcześniejszej wypowiedzi (chyba Twojej, ale nie jestem pewny): "w zadaniu 3 szukaliśmy zbioru liczb naturalnych, do liczb naturalnych zaliczamy także 0, które nie jest liczbą złożoną, więc nie ma dzielników. Dlatego np. zbiór {0, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91} zaprzecza temu, że wystarczy wylosować tylko 10 liczb. Możliwe że się mylę, ale według mnie poprawną odpowiedzią jest 11". Załóżmy nawet, że stwierdzenie, iż "0 nie jest liczbą złożoną, więc nie ma dzielników" jest prawdziwe. W związku z tym weźmy zbiór A = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 14, 67, 146, ...}. Następnie losujemy np. 15 razy pod rząd 0 i potem kolejne liczby. I co? Poprawna odpowiedź to 25? A można losować i więcej razy 0 (w treści zadania nie było podane, że elementy nie mogą się powtarzać). Na szczęście nie trzeba rozważać tak skrajnych przypadków, ponieważ założenie, że "0 nie jest liczbą złożoną, więc nie ma dzielników" jest całkowicie nieuzasadnione;) Pozdrawiam.
Nie rozumiem decyzji
Nie rozumiem decyzji o punktach. W zadaniu było napisane, żeby krótko uzasadnić. Podanie warunku, dlaczego liczba jest nieparzysta, jest podaniem całego rozwiązania, więc o to powinno się poprosić w zadaniu.