Zad. 1. Niech L oznacza zbiór ludzi, a z(x, y) dwuargumentową relację "x zna y". Za pomocą kwantyfikatorów i innych symboli logicznych zapisz zdanie: Każdy człowiek zna człowieka, który nie zna człowieka, który nikogo nie zna.
Zad. 2. W trapezie ABCD o podstawach |AB| = a i |CD|= b przekątne przecinają się w punkcie E, przez który poprowadzono prostą równoległą do podstaw. Prosta ta przecięła ramiona trapezu w punktach F i G. Ile wynosi długość odcinka FG?
Zad. 3. Rolnik Bolesław chce ogrodzić prostokątne pastwisko, mając do dyspozycji 100 m bieżących siatki. Jedna strona pastwiska przylega do wodopoju - strumienia o prostej linii brzegowej, więc nie ma potrzeby grodzenia pastwiska z tej strony. Jakie powinny być wymiary pastwiska, aby jego powierzchnia była możliwie największa?
W grudniu punkty zdobyli:
- 2 pkt. – Martyna Babiak DLH Nysa, Mateusz Bielówka I LO Kraków, Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Anna Cichowska II LO Lubin, Filip Derejski I LO Kraków, Wojciech Domin III LO Wrocław, Michał Dźwigaj LO Przemków, Rafał Górzyński I LO Lubin, Dominik Pawelec II LO Dzierżoniów, Michał Plata III LO Wrocław, Jakub Kutyła ZS Głogów, Mikołaj Popek VIII LO Poznań, Cezary Rębiś ZSE Radom, Laura Stefanowska KLO Legnica, Wojciech Szwarczyński II LO Wałbrzych, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra;
- 1 pkt. – Tomasz Chudziński DLH Nysa, Karol Czub II LO Oleśnica, Bartosz Kaczor I LO Głogów, Tomasz Smołka I LO Kraków, Igor Wojtun I LO Głogów.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. [tex]\forall a \in L [/tex] [tex]\exists b \in L[/tex] [tex] [( \exists c \in L [/tex] [tex]\forall d \in L \sim z(c,d) \rightarrow \sim z(b,c)))] \wedge z(a,b)[/tex]
Zad. 2. Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku. [tex]\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup FEA[/tex] oraz [tex]\bigtriangleup DCB \sim \bigtriangleup EGB[/tex], skąd otrzymujemy równości [tex]\frac{b}{c}= \frac{x+y}{x}[/tex] i [tex]\frac{b}{d}= \frac{x+y}{x}[/tex]. Wynika z tego, że c=d, czyli |FG|=2c=2d. [tex]\bigtriangleup ABE \sim \bigtriangleup DEC[/tex], skąd [tex]\frac{a}{b}= \frac{x}{y}[/tex], czyli [tex]y=\frac{bx}{a}[/tex]. Po wyznaczeniu długości c z układu równań [tex]\frac{b}{c}= \frac{x+y}{x}[/tex] i [tex]y=\frac{bx}{a}[/tex] otrzymujemy [tex]c=\frac{ab}{a+b}[/tex], czyli [tex]|FG|=\frac{2ab}{a+b}[/tex].
Zad. 3. Niech wymiary pastwiska wynoszą x i y oraz przy wodopoju znajduje się bok długości y. Wówczas 2x+y = 100. Powierzchnia placu wynosi P = xy= x(100−2x) i jest funkcją kwadratową zmiennej x z ujemnym współczynnikiem przy x2 (czyli ramiona paraboli skierowane są w dół) oraz miejscach zerowych 0 i 50. Funkcja kwadratowa przyjmuje największą wartość w punkcie położonym symetrycznie między miejscami zerowymi, czyli dla x=25, a wówczas y = 100–2·25 = 50.
