Zad. 1. W pewnej grupie 40% osób ma wadę wzroku. Sposród nich 70% nosi okulary, zaś 30% szkła kontaktowe. Osób noszących okulary jest 21. Ile osób liczy ta grupa?
Zad. 2. Podstawa i wykładnik pewnej potęgi są dodatnimi liczbami całkowitymi. Obie te liczby podniesiono do kwadratu i otrzymano liczbę 215 razy większą od początkowej. Jaką liczbą była początkowa potęga?
Zad. 3. Trzy kolejne wierzchołki pewnego wielokąta foremnego wyznaczają trójkąt, w którym kąt rozwarty jest 100 razy większy od ostrego. Ile jest przystających do niego trójkątów wyznaczonych przez trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta?
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Michał Dźwigaj LO Przemków, Michał Plata III LO Wrocław, Laura Stefanowska KLO Legnica;
- 2,5 pkt. – Mateusz Bielówka I LO Kraków, Karol Czub II LO Oleśnica, Wojciech Domin III LO Wrocław, Rafał Górzyński I LO Lubin, Bartosz Kaczor I LO Głogów, Jakub Kutyła ZS Głogów, Mikołaj Mosiak II LO Oleśnica, Mikołaj Popek VIII LO Poznań, Cezary Rębiś ZSE Radom, Tomasz Smołka I LO Kraków, Wojciech Szwarczyński II LO Wałbrzych, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra, Igor Wojtun I LO Głogów;
- 2 pkt. – Anna Cichowska II LO Lubin;
- 1,5 pkt. – Michał Gruszka III LO Kalisz, Filip Derejski I LO Kraków;
- 1 pkt. – Tomasz Chudziński DLH Nysa.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Grupa 21 osób noszących okulary stanowi 70% liczby osób z wadą wzroku, czyli 0,7·40% = 28% całej grupy. Osoby noszące szkła kontaktowe stanowią 30% liczby osób z wadą wzroku, czyli 0,3·40% = 12% całej grupy. Stąd liczba osób noszących szkła kontaktowe jest równa [tex] \frac{12\%\cdot21}{28\%}=9[/tex]. Osób z wadą wzroku jest więc 21+9 = 30, co stanowi 40% całej grupy. Cała grupa liczy zatem 75 osób.
Zad. 2. Niech szukaną potęgą będzie kn. Wówczas [tex](k^2)^{(n^2)}:k^n=2^{15}[/tex], a stąd [tex]k^{2n^2}:k^n=2^{15}[/tex], czyli [tex]k^{2n^2-n}=2^{15}[/tex].
- Niech k=2. Wtedy 2n2-n=15, czyli n(2n-1)=15, a stąd n=3.
- Niech k=23. Wtedy 3(2n2-n)=15, czyli 2n2-n=5. To równanie nie jest spełnione przez żadną liczbę naturalną.
- Niech k=25. Wtedy 5(2n2-n)=15, czyli 2n2-n=3. To równanie nie jest spełnione przez żadną liczbę naturalną.
- Niech k=215. Wtedy 15(2n2-n)=15, czyli 2n2-n=1, więc n=1.
Żądaną własność mają potęgi 23 oraz (215)1=327681.
Zad. 3. Oznaczmy przez α miarę kąta rozwartego w trójkącie utworzonym przez 3 kolejne wierzchołki wielokata. Mamy wówczas α + 2·0,01α = 180°, a stąd α = 1/1,02·180º. Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego n-kąta wypukłego jest równa (n–2)·180º, więc kąt wewnętrzny n-kąta foremnego ma miarę n-2/n ·180º. Liczbę wierzchołków szukanego wielokąta obliczymy, rozwiązując równanie n-2/n·180º = 1/1.02·180º, skąd n=102. Trójkątów wyznaczonych przez trzy kolejne wierzchołki wielokąta jest tyle, ile wierzchołków ma ten wielokąt, czyli są 102 takie trójkąty.
