Zad. 1. Na płaszczyźnie dane (narysowane) jest koło. Jak klasyczną konstrukcją (przy użyciu tylko cyrkla i linijki bez podziałki) podzielić je na 9 części o równych polach?
Zad. 2. Jak bez użycia maszyn liczących znaleźć liczbę wszystkich par liczb dwucyfrowych, w których zapisach występują w sumie trzy cyfry? (Tzn. chodzi o warunek spełniony np. przez pary (12, 13), (22, 34) i (12, 31), a niespełniony przez pary (11, 22), (13, 33) i (12, 12)).
Zad. 3. Cukiernia pana Jana wypieka dwa rodzaje (przepysznych!) ciast. Ciasto ananasowe sprzedawane jest po 50 zł, a brzoskwiniowe - po 80, jednak w ciągu dnia (przepustowość pieców, dostępność załogi, ...) są w stanie upiec w sumie tylko 30 ciast. W dodatku miodu używanego do ich produkcji jest na stanie już tylko 100 dag! (Ale na szczęście innych substratów potrzebnych do ich wypieku cukiernia ma pod dostatkiem (czyt.: nieskończenie wiele)). Jak bez użycia maszyn liczących stwierdzić, ile ciast którego rodzaju powinien przygotować pan Jan, żeby zmaksymalizować swój dobowy przychód, jeśli do wypieku ciasta ananasowego potrzeba 2 dag miodu, a do brzoskwiniowego - 5 dag?
Zadania kwietniowe były dość trudne i komplet trzech punktów uzyskali jedynie Adam Balawender, Michał Tomański i Arkadiusz Wróbel. 2,5 pkt otrzymała Dorota Mularczyk.
W sumarycznym rankingu Ligi Ponadgimnazjalnej najwyżej stoją aktualnie:
- z 21 pkt (na 21 możliwych!) - Michał Tomański z II LO w Opolu,
- z 18,5 pkt - Marek Mika z II LO w Opolu,
- z 18 pkt - Adam Balawender z ZSO w Strzegomiu, Bartosz Pawliczak z LO w Górze i Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 17,5 pkt - Piotr Bartoszek z III LO w Kaliszu i Agnieszka Lewicka z II LO w Opolu,
- z 16,5 pkt - Dorota Mularczyk z III LO w Kaliszu i Michał Pilarczyk z I LO w Wieluniu,
- z 15 pkt - Karolina Łagoda z II LO w Opolu i Tomasz Skalski z III LO we Wrocławiu
- z 14 pkt - Paweł Sikora z IV LO we Wrocławiu i Michał Stroka z II LO w Opolu.
Serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Bodaj najprościej można zrobić to tak: poprowadzić dowolną cięciwę i wykreślić jej symetralną. Wyznaczy ona średnicę, a jej symetralna - kolejną, prostopadłą do otrzymanej jako pierwsza. Można teraz skonstruować odcinek o długości 1/3 promienia i odłożyć go na obu średnicach z każdego z ich końców. Jeśli otrzymane w ten sposób punkty nazwiemy A, B, C, D, to zakreślając teraz z otrzymanych punktów oraz ze środka koła okręgi o promieniu także r/3, otrzymamy pięć kół o polach równych 1/9 pola koła danego w zadaniu. Jednocześnie wycinają one cztery przystające obszary, każdy z nich ma więc również to samo pole.
Innym sposobem jest zakreślenie ze środka okręgów o promieniach kolejno r/3, r√2/3, r√3/3, ..., r√8/3. Wycięte przez nie pierścienie oraz centralne koło mają pola równe πr2/9, a potrzebne promienie można skonstruować np. według schematu zwanego ślimakiem Teodorosa.
Zad. 2. Jeśli w zapisie liczb, o których mowa w zadaniu, nie występuje zero, to miejsca dla powtarzającej się cyfry można wybrać na 6 sposobów (dwie pozycje z czterech), ją samą na 9 sposobów, kolejną na 8 i ostatnią występującą w zadaniu na 7. Jest więc 9·8·7·6 takich par. Jeśli wśród cyfr występujących w zadaniu jest zero, ale nie ono się powtarza, miejsce dla niego można wybrać na dwa sposoby, miejsca dla cyfry występującej dwukrotnie - na 3 sposoby, ją samą - na 9, a ostatnią cyfrę - na 8. Takich par jest więc 2·3·9·8. Jeśli zaś zero jest cyfrą występującą dwukrotnie, musi stać na obu miejscach jedności, a pozostałe pozycje zapełnimy na 9·8 sposobów. Odpowiedzią jest więc 9·8·(7·6+6+1) = 72·49 = 3528, co można zweryfikować np. takim programikiem w Pascalu:
var i, j, k, l : Integer;
begin
l:=0;
for i:=10 to 99 do for j:=10 to 99 do
begin
k:=0;
if i div 10 = i mod 10 then k:=k+1;
if i div 10 = j div 10 then k:=k+1;
if i div 10 = j mod 10 then k:=k+1;
if i mod 10 = j div 10 then k:=k+1;
if i mod 10 = j mod 10 then k:=k+1;
if j div 10 = j mod 10 then k:=k+1;
if k=1 then l:=l+1
end;
WriteLn(l)
end.
Zad. 3. Mamy ograniczenia: a+b≤30, 2a+5b≤100 oraz oczywiście a,b≥0. Nierówności te wyznaczają w układzie współrzędnych a, b czworokąt prostokątny o wierzchołkach (0, 0), (0, 20), (50/3, 40/3), (30, 0). Szukany jest w nim punkt, którego współrzędne są całkowite i maksymalizują wartość funkcji 50a+80b. Wykresy 50a+80b=c są równoległymi prostymi biegnącymi w miarę wzrostu c coraz dalej od początku układu. Optymalne byłoby zatem c, dla którego a=50/3, b=40/3, jednak ponieważ wtenczas a i b nie są całkowite, prostą tę należy odpowiednio obniżyć (zmniejszając c). Analizując jej współczynniki (czyli stosunek jednostkowych cen za ciasta a i b) oraz współczynniki kierunkowe prostych wyznaczających obszar dopuszczalnych par (a, b) rozwiązań (lub wykonując odpowiednio staranny rysunek albo po prostu sprawdzając okoliczne punkty o obu współrzędnych całkowitych), przekonujemy się, że optymalny układ to a=17 i b=13.
Jak wykonać tego rodzaju optymalizację przy pomocy komputera, patrz Liga Kalkulatorowo-Komputerowa.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
Odpowiedzi do zadań z kwietnia
Po wysłaniu odpowiedzi zauważyłem, że w treści maila, a dokładnie w rozwiązaniu zadania trzeciego, wstawiłem przypadkowo "⊂" zamiast "∈"; mam nadzieję, że przez to nie będzie jakichś problemów.
Zadanie 2.
Treść zadania drugiego mówi o "parach liczb", a nie o "uporządkowanych parach liczb", natomiast właśnie tę drugą koncepcję przyjęto w zaprezentowanym wyżej rozwiązaniu wzorcowym. Gdy treść zrozumiemy dosłownie, tj. tak, jak została zapisana, to owych par liczb jest 1764.
Para
Jeśli w matematyce mówimy "para" i z kontekstu nie wynika inaczej, mamy na myśli zwykle parę uporządkowaną. Tak jest również w szkole, gdzie za pomocą pary określa się współrzędne na płaszczyźnie czy ułamki (a oczywiście punkt (1,2) albo ułamek 1/2 daje para inna niż dająca punkt (2,1) bądź ułamek 2/1). (Podobnie jest zresztą w życiu powszednim, gdzie zazwyczaj odróżniamy elementy pary, natomiast matematyczne pojęcie pary nieuporządkowanej rodzi dodatkowe trudności definicyjne). Oczywiście jeśli ktoś zliczał (poprawnie) pary nieuporządkowane, również uznamy jego rozwiązanie.
Dziękuję
Dziękuję za błyskawiczną i pozytywną odpowiedź. Pozdrawiam Redakcję i wszystkich maturzystów :)
Zadania
W pierwszym zadaniu zasugerowałem się tym, że nie można dokonać podziału okręgu na 9 równych części i myślałem, że z polem koła będzie podobnie. Natomiast w pozostałych zadaniach mam dobre wyniki i choć uzasadnienia są trochę inne, to mam nadzieję, że będą uznane;) Ogólnie uważam, iż zadania z tego miesiąca za łatwe nie były... Po20zdrawiam.
Idzie ku końcowi
No cóż, Liga zmierza ku końcowi, to podkręcają śrubkę.