Od stycznia 2014 zadania Ligi Zadaniowej dla Gimnazjów należy wysyłać na adres mejlowy kisowski@gazeta.pl. Adres pocztowy pozostaje bez zmian.
Zad. 1. Iglica należy do najbardziej charakterystycznych punktów Wrocławia. Zaprojektował ją profesor Stanisław Hempel na Wystawę Ziem Odzyskanych w 1948 roku. Iglica ma 96 metrów wysokości, wykonana została ze stali i waży 44 tony. Ile będzie ważył model Iglicy wykonany z takiego samego materiału i geometrycznie do niej podobny o wysokości 24 cm?
Zad. 2. Rozważmy następujący ciąg liczb: pierwsza równa się 138, a każda następna jest iloczynem cyfr liczby poprzedniej powiększonym o 11. Jaka liczba znajduje się w tym ciągu na 2014 pozycji?
Zad. 3. Znajdź wartość funkcji f dla argumentu równego 2, jeśli wiadomo, że dla dowolnego x≠0 spełniony jest warunek f (x) + 2x·f (1/x) = x3.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Bartosz Czyżewski GM 1 Jelenia Góra, Joanna Lisiowska KZE Warszawa, Przemysław Rybarczyk GIM Stargard Szczeciński i Michał Stempniak GMSS Ostrów Wielkopolski,
- 1 pkt. - Klaudia Marcinkiewicz GM 24 Katowice, Maciej Pająk GM 13 Wrocław, Mateusz Rzepecki GM 14 Wrocław, Karolina Stefańczyk GM Radków i Wojciech Wiśniewski GM 3 Giżycko.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1 punktu.
Po siedmiu miesiącach Ligi z wynikiem 21 pkt. (na 21 możliwych!) prowadzi Bartosz Czyżewski z GM 1 Jelenia Góra. Gratulujemy!
Zad. 1. Skala podobieństwa Iglicy i jej modelu to k = 96m/24cm = 9600/24 = 400. Stosunek objętości brył podobnych wynosi k3 i jest to jednocześnie stosunek mas obu obiektów, bo objętość jest ilorazem masy i gęstości, a ponieważ Iglica i jej model są wykonane z tego samego materiału, to ich gęstości są jednakowe. Zatem stosunek mas Iglicy i jej modelu wynosi 4003 = 44/m, gdzie m to masa modelu Iglicy w tonach. Zamieniając jednostki na gramy i przekształcając wzór, dostajemy m = 44000000/64000000 = 0,6875 g. Dla porównania: waga banknotu 5€ to około 0,663 g, a jego długość to 12 cm. Stalowy model Iglicy o wysokości takiej, jak długość dwóch banknotów 5€, waży tyle, co jeden z tych banknotów. Pokazuje to, jak lekką konstrukcją jest Iglica.
Zad. 2. Kolejne liczby tego ciągu to 138, 35, 26, 23, 17, 18, 19, 20, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ... Z konstrukcji ciągu widać, że od piątego miejsca liczby te będą powtarzały się cyklicznie co 10. Odliczając pierwsze cztery wyrazy, interesuje nas 2010 pozycja w ciągu okresowym, ale 2010 jest podzielne przez 10, więc będzie to ostatnia liczba okresu, czyli 16.
Zad. 3. Podstawmy do równania x=2 oraz x=1/2. Dostaniemy dwa równania:
f (2)+4·f (1/2) = 8 i f (1/2) + f (2) = 1/8.
Z drugiego równania mamy f (1/2) = -f (2)+1/8.
Podstawiając to do pierwszego równania, otrzymujemy
f (2)+4·(-f (2)+1/8) = 8, czyli -3·f (2) = 7,5.
Ostatecznie f (2) = -2,5.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
