Zad. 1. Jaka jest najmniejsza liczba naturalna kończącą się cyfrą 4 taka, że aby pomnożyć tę liczbę przez 4, wystarczy przenieść ostatnią cyfrę na początek?
Zad. 2. Poparcie dla rządu wśród studentów matematyki na Akademii Futurologii Stosowanej po pierwszym czytaniu w sejmie ustawy o opłatach za studia zmalało o 25%, a kiedy ustawa została już przegłosowana – o kolejne 20%, ale po zakończeniu prac nad nią przez Senat wzrosło o 22/3 punktu procentowego. Ile co najmniej osób studiuje matematykę na AFS?
Zad. 3. Czy istnieją trzy różne liczby całkowite dodatnie, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem liczby naturalnej i trzy z tych liczb są kolejnymi kwadratami?
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 - Michał Szwej G Dwujęzyczne Chorzów;
- 2 - Laura Stefanowska G im. Św. Franciszka z Asyżu Legnica, Michał Piórkowski G Urszulanek Wrocław, Jan Jancewicz G Akademickie PWr, Tomasz Lefler ZSS Wołów, Alex Kalinowski G Dwujęzyczne Góra, Mikołaj Mastaliński G Akademickie PWr, Szymon Bar PG 1 Głogówek, Jakub Dobrzański G 3 Lubin, Bartłomiej Bychawski G Akademickie PWr i Igor Hołowacz G Akademickie PWr;
- 1,5 - Kacper Misiaczek G Akademickie PWr;
- 1 - Łukasz Janiak G Akademickie PWr, Julia Mazur G Lewin Brzeski, Krzysztof Możdżeń ZSO 1 Żory, Karol Sadowski G Żary, Jakub Musiała G Akademickie PWr , Julia Grzyb G Wieliszew, Małgorzata Plewka G Akademickie PWr, Julia Waleńdzik PG 1 Brzeg Dolny, Krzysztof Palatyński G FILOMATA Gliwice i Krzysztof Nawrocki G Bóbrka.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Korzystając z algorytmu mnożenia pisemnego, mnożymy cyfrę jedności (=4) przez 4 i otrzymujemy 16, stąd wiemy, że cyfra dziesiątek szukanej liczby to 6. Z mnożenia 6 przez 4 otrzymujemy 24 i dodajemy jeden z przeniesienia, zatem cyfra setek szukanej liczby to 5. Analogicznie uzyskujemy jako kolejne cyfry od prawej 2, 0, 1. Kończymy w momencie uzyskania iloczynu równego 4. Zatem szukana liczba to 102564.
Zad. 2. Niech będzie n studentów, z czego p popiera na początku ustawę. Po pierwszym spadku ustawę popiera 3/4p, a po drugim 4/5 · 3/4p = 3/5p studentów (widać, że liczba p musi się dzielić przez 4 i 5, czyli przez 20). W tym momencie poparcie dla ustawy wynosi 0,6p/n·100 procent. Ta wielkość ma wzrosnąć o 22/3. Wówczas liczba studentów popierających ustawę wyniesie [0,6p/n·100 + 22/3]/100 · n = 0,6p + 2/75 n i to ma być liczba całkowita. Ponieważ p dzieli się przez 20, wystarczy jeśli n będzie dzieliło się przez 75. Stąd najmniejsze n to 75, a liczba popierających na początku może wynosić 20, 40 lub 60 (np. dla p=20 najpierw poparcie spada do 15 osób, potem do 12, a na koniec rośnie do 14).
Zad. 3. Takie liczby istnieją. W rozwiązaniu wystarczy podać jeden przykład, opisując drogę dojścia do tego wyniku. Np. dla liczb 41, 80, 320 mamy 41+80+320 = 441 = 212, 80+320 = 400 = 202, 41+320 = 361 = 192, 41+80 = 121 = 112. Aby znaleźć ten przykład, zakładamy, że kwadratami kolejnych liczb naturalnych są a+b+c = (x+1)2 = x2+2x+1, a+b = x2 i b+c = (x–1)2 = x2–2x+1. Wobec tego c = (a+b+c)–(a+b) = 2x+1 i a = (a+b+c)–(b+c) = 4x. Stąd a+c = 6x+1 i liczba ta ma być kwadratem, co zachodzi np. dla x = 20. Wśród liczb mniejszych od 1000 analogicznie można znaleźć trójkę 57, 112 i 672 (57+112=169=132, 57+672=729=272, 112+672=784=282 i 57+112+672=841=292). Inne możliwe zestawy to (97, 192, 2112), (121, 240, 3360), (177, 352, 7392)...
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
zadanie 3
Witam,
Czy w zadaniu 3. "Kolejnymi kwadratami" są trzy z czterech liczb otrzymanych w wyniku sumowania liczb których istnienie musimy sprawdzić, czy może właśnie szukane trzy liczby są owymi "kolejnymi kwadratami"?