czerwiec 2017 - procenty

Umiejętność operowania procentami jest bardzo potrzebna w codziennym życiu, o czym uczestnicy ligi zadaniowej z matematyki finansowej mieli okazję wielokrotnie się przekonać, jednak bardzo często nawet dorośli nie potrafią się tym pojęciem właściwie posługiwać. Najczęstsze błędy polegają na tym, że mylą procenty i punkty procentowe.

Procent (ozn. %) to setna część pewnej wielkości. Przyrost wielkości w procentach podajemy zawsze w stosunku do początkowej wartości tej wielkości. Przyrost w punktach procentowych (ozn. pp) jest to różnica między początkowym i końcowym stanem tej samej wielkości podanymi w procentach. Dlatego dziesięć procent i dziesięć punktów procentowych to zazwyczaj zupełnie różne liczby.

Przykład 1. Klasa VIb od trzech lat liczy niezmiennie 30 uczniów. W klasie V w szkolnej lidze zadaniowej z matematyki finansowej brało udział 40% uczniów tej klasy, a w klasie VI zgłosiło się już 50% uczniów. O ile zwiększyła się liczba uczestników ligi:
a) punktów procentowych
b) sztuk
c) procent?
Rozwiązanie.
a) Punkty procentowe to różnica między początkową i końcową wielkością wyrażoną w procentach tej samej liczby - w tym przypadku liczby uczniów w klasie. Zatem liczba uczestników ligi wzrosła o 50–40 = 10 punktów procentowych.
b) Uczniów jest 30. W klasie V w lidze startowało 40% z 30 = 0,4·30 = 12 uczniów. W klasie VI zgłosiło się już 50% z 30 = 0,5·30 = 15 uczniów. Zatem liczba uczestników ligi wzrosła o 3 sztuki.
c) Liczba uczestników ligi w VI klasie wzrosła o 3 osoby w stosunku do V klasy, co stanowi 10% uczniów w klasie, ale przede wszystkim stanowi 25% początkowych uczestników ligi. Zatem liczba uczestników ligi wzrosła o 25%.

Przykład 2. W pewnym banku oprocentowanie kredytu wynosiło 5%, ale wzrosło ostatnio a) o 3 pp, b) o3%. Ile wynosi obecnie? O ile wzrosło a) procent, b) punktów procentowych?
Rozwiązanie. a) 5+3= 8. Nowe oprocentowanie wynosi 8%. Wzrosło o 60% , bo 3 = 60% z 5.
b) 5 + 3% z 5 = 5 + 3%·5 = 5 + ³/₁₀₀·5 = 5,15. Nowe oprocentopwanie wynosi 5,15%. Wzrosło o 0,15 punktu procentowego.  

Przykład 3. Panna Mariannna zarabia 80% pensji pana Mariana. Czy zarabia
20% czy 20 punktów procentowych mniej od niego?
Rozwiązanie. Obie odpowiedzi są poprawne. Dlaczego?

Zad. 1. W komunikacie prasowym rząd podał, że stopa bezrobocia wzrosła w poprzednim miesiącu z 7% do 10%. Czy stopa bezrobocia wzrosła o 3 procent? Jeśli nie, to o ile? Ile by wynosiła, gdyby wzrosła o 3%?

Zad. 2. Bank obniżył oprocentowanie kredytu z 15% na 13,5%. O ile bank obniżył oprocentowanie kredytu: a) punktów procentowych? b) procent?

Zad. 3. Ze względu na zmianę klasyfikacji podatkowej stawka podatku VAT na kostki do gier planszowych zmalała o 15 punktów procentowych. Poprzednio po doliczeniu do kosztów produkcji 10% marży hurtownika, 15% marży detalisty i 23% podatku VAT cena sprzedaży kartonu kostek wynosiła 150 zł.
a) Jaka jest obecnie cena sprzedaży kartonu kostek do gry?
b) Ile kosztuje jego produkcja?
c) Ile płacili poprzednio i ile płacą obecnie podatku VAT od tego towaru producent, hurtownik i detalista?

Zad. 1. Bezrobocie wzrosło z 11% do 13%. O ile punktów procentowych wzrosło bezrobocie? O ile procent wzrosło bezrobocie? Ile wyniosłaby stopa bezrobocia, gdyby wzrosło ono o 2%?

Zad. 2. Kowalski był posiadaczem 5% akcji spółki Best S.A. Właśnie wykupił kolejne akcje, co spowodowało, że jego udziały wzrosły o 15 punktów procentowych. Ile procent akcji spółki posiada? O ile procent wzrósł jego udział? Ile procent akcji by posiadał, gdyby jego udziały wzrosły o 15%?  O ile punktów procentowych byłby to wzrost?

Zad. 3. Klasa IIb liczyła 20 osób, z których 80% wyjechało na szkolną wycieczkę. W kolejnym roku do klasy dołączyły 2 osoby, a na wycieczkę z IIIb pojechało 90% uczniów. O ile procent wzrosła liczba uczestników wycieczki? O ile punktów procentowych zwiększył się procent uczestników wycieczki?

Zad. 1. Aby zdać maturę z matematyki na poziomie podstawowym potrzeba zdobyć 30% punktów. Janek zdobył uzyskał tylko 26% punktów i egzamin oblał. Komisja egzaminacyjna uznała jednak reklamacje maturzystów, gdyż w jednym zadaniu wkradł się błąd, w związku z czym postanowiono wynik każdego maturzysty podnieść o 5%. Janek cieszy się, że teraz zda maturę. Czy słusznie? 

Zad. 2. Liczba uczniów w klasie w czasie roku szkolnego zmalała o 5%. Natomiast liczba dziewcząt w klasie wzrosław tym samym czasie z 40% do 50%. O ile procent wzrosła liczba dziewczat w klasie w ciągu roku szkolnego?

Zad. 3. Wydatki Analocji na oświatę stanowią 42% PKB (produkt krajowy brutto), a wydatki Bajdocji
stanowią 15% PKB. Czy możemy powiedzieć, że wydatki Analocji na oświatę są wyższe o 27 punktów procentowych PKB?