Zad. 1. Rozwiąż w parach liczb naturalnych równanie 3x + xy – 4y = 45.
Zad. 2. Oblicz [tex] \frac{(\log_63)^2+\log_616}{\log_63\cdot\log_648+(\log_64)^2}[/tex].
Zad. 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy różne losowo wybrane wierzchołki sześcianu leżą w wierzchołkach trójkąta równoramiennego?
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Dominik Bysiewicz I LO Krosno, Adrian Chudzik I LO Leszno, Wiktoria Malinowska XXVII LO Warszawa, Laura Stefanowska Katolickie LO Legnica, Aleksandra Strzelecka VIII LO Poznań, Wojciech Szwarczyński II LO Wałbrzych, Kacper Woszczek II LO Wałbrzych;
- 2,5 pkt. – Kasper Radom II LO Lubin;
- 2 pkt. – Bartosz Kaczor I LO Głogów, Karol Czub II LO Oleśnica, Anna Kopystiańska, Igor Wojtun I LO Głogów, Gabriela Wołynko I LO Węgrów;
- 1,5 pkt. – Karol Czub II LO Oleśnica, Szymon Kowalcze ZSE Brzeg;
- 1 pkt. – Mikołaj Mosiak II LO Oleśnica, Roman Szlachtun LO 9 Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Przekształcając dane równanie, otrzymujemy równanie z nim równoważne: x = 4+45/3+y = 4(y+3)+33/3+y = 4+33/3+y. Dla y=-3 to równanie jest sprzeczne. Ponieważ x musi być liczbą naturalną, 3+y musi być jedną z liczb 1, 3, 11 lub 33, czyli y może przyjmować wartości naturalne 0, 8, 30. Podstawiając je do równania, otrzymujemy pary (15 , 0), (7 , 8), (5 , 30). Jeśli przyjmiemy, że 0 nie jest liczbą naturalną (a tak zazwyczaj przyjmuje się w arytmetyce), pierwszą z tych par należy odrzucić.
Zad. 2. Korzystając z własności logarytmów otrzymujemy kolejno:
[tex] \frac{(\log_63)^2+\log_616}{\log_63\cdot\log_648+(\log_64)^2}[/tex]=[tex] \frac{(\log_63)^2+4(\log_66-\log_63}{\log_63\cdot(\log_63+log_616)+(\log_64)^2}[/tex]=[tex] \frac{(\log_63)^2+4(\log_63+4}{(\log_63)^2+\log_63\cdot\log_616)+(\log_64)^2}[/tex]=[tex] \frac{(\log_63-2)^2}{(\log_63)^2+2\log_63\cdot\log_64+(\log_64)^2}[/tex]=[tex] \frac{(\log_63-\log_636)^2}{(\log_64+\log_63)^2}[/tex]=[tex] \frac{(-(\log_612))^2}{(\log_612)^2}=1[/tex]
Zad. 3. Trzy wierzchołki sześcianu można wybrać na [tex]{{8}\choose{3}}=56[/tex] sposobów. Interesujące nas trójkąty równoramienne to trójkąty równoboczne, których wierzchołki są końcami krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka sześcianu - jest ich 8 oraz trójkąty prostokątne równoramienne są 4 takie trójkąty na każdej ze ścian, łącznie 24. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia, że 3 losowo wybrane wierzchołki sześcianu wyznaczają trójkąt równoramienny wynosi: 8+24/56 = 32/56 = 4/7.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
