listopad 2009

listopad 2009

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-17

Zad. 1. Połączono kolejno środki sąsiednich boków równoległoboku o polu 1. Jakie jest pole otrzymanej figury?

Zad. 2. Ile stucyfrowych liczb, których zapis nie zawiera więcej niż dwóch jedynek, ma sumę cyfr 3?

Zad. 3. Oblicz sumę liczb nieparzystych od 1 do 2009.

Wyniki:

Listopad sprzyjał Ligowiczom. Maksymalną punktację (3 pkt.) uzyskali: Daniel Danielski, Bartłomiej Kaliciak, Karol Kaszuba, Mikołaj Kielan, Zuzanna Kędzierska, Damian Książak, Wojciech Kubiela, Antoni Machowski, Michał Majborski, Natalia Marcinkiewicz, Karol Sala, Tomasz Skalski, Adrian Słodziński i Arkadiusz Wróbel.

Po dwóch miesiącach Ligi 6 pkt. na 6 możliwych mają: Daniel Danielski z Gim. 1 w Zgorzelcu, Bartłomiej Kaliciak z Gim. 2 w Oświęcimiu, Karol Kaszuba z Gim. 42 w Warszawie, Antoni Machowski z Gim. 52 w Krakowie, Natalia Marcinkiewicz z Gim. "Omega" w Katowicach, Karol Sala z ZSP-G 2 w Piotrowicach oraz Arkadiusz Wróbel z Gim. 2 w Brwinowie.

Serdecznie gratulujemy!

Odpowiedzi:

Zad. 1. Boki otrzymanej figury odcinają z danego równoległoboku naroża podobne w skali 1:2 do jego połówek. Każdy taki odcinany narożny trójkąt ma zatem pole 4 razy mniejsze od połowy pola równoległoboku, a że jest ich cztery, z pola ubywa ¹/₂, czyli tyle też pozostaje.

Zad. 2. Liczby takie mogą oprócz zer zawierać tylko jedną trójkę (więc jest tylko jedna taka liczba, bo trójka ta musi stać na jej początku) albo jedną dwójką i jedną jedynkę, a takich liczb jest 2·99, bo na pierwszej pozycji musi stać jedna z tych cyfr, a druga na dowolnej z pozostałych 99). Odpowiedzią jest więc 199.

Zad. 3. Oznaczmy szukaną sumę przez s. Wówczas po sprytnym sparowaniu składników
2s = (1 + 2009) + (3 + 2007) + ... + (2009 + 1),
a że nawiasów jest 1005, uzyskujemy s = 1005·2010/2 = 1005² = 1010025.