listopad 2016

Data ostatniej modyfikacji:
2016-12-29

Zad. 1. Rozwiąż równanie [tex]2^{\sin^2x}-2^{\cos^2x}=1[/tex].

Zad. 2. Udowodnij, że sześcian długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym jest większy od sumy sześcianów długości jego przyprostokątnych.

Zad. 3. Udowodnij, że prosta przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych trapezu i punkt przecięcia przedłużeń boków nierównoległych, dzieli podstawy tego trapezu na połowy.

 

Wyniki: 

W październiku punkty zdobyli:

  • 3 - Konrad Bratek I LO Bolesławiec, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Karol Kowalski I LO Kraków, Błażej Mrzygłód V Technikum Opole, Mikołaj Pater III LO Opole, Paweł Wesołowski II LO Końskie i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
  • 2,5 - Monika Marusiak I LO Bolesławiec i Piotr Pojda ZSO Głubczyce;
  • 2 - Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa;
  • 1,5 - Cyprian Skóra ZSO Głubczyce;
  • 1 - Sebastian Janus I LO Oleśnica i Mateusz Kwieciński I LO Bolesławiec.

Pozostałym uczestnikom przyznano poniżej 1 pkt.

Po dwóch miesiącach Ligi Zadaniowej Szkół Ponadgimnazjalnych z wynikiem 6 pkt. (na 6 możliwych) prowadzą: Błażej Mrzygłód, Mikołaj Pater i Paweł Wesołowski.

Drugie miejsce z wynikiem 5,5 pkt. zajmują: Bartosz Czyżewski i Karol Kowalski.

Trzecie miejsce z wynikiem 5 pkt. zajmuje Wojciech Wiśniewski.

Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Równanie przekształcamy równoważnie:

[tex]2^{\sin^2x}-2^{1-\sin^2x}=1[/tex]

[tex](2^{\sin^2x})^2-2-2^{\sin^2x}=0[/tex]

Po dokonaniu podstawienia [tex]2^{\sin^2x}=t[/tex], dostajemy równanie t2t–2 = 0, które jest równoważne (t+1)(t–2) = 0. Ponieważ t nie może być ujemne (dlaczego?), dostajemy [tex]2^{\sin^2x}=2[/tex], czyli sinx = 1 lub sinx = -1. Ostatecznie równanie spełniają liczby x = π/2+kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Zad. 2. Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez a i b, a długość przeciwprostokątnej przez c. Z własności trójkąta prostokątnego mamy c>a i c>b. Stąd, mnożąc nierówności stronami odpowiednio przez a2 i b2, dostaniemy c·a2 > a3 i c·b2 > b3. Dodając je stronami oraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy tezę: c3 > a3+b3.

Zad. 3. Z podobieństwa trójkątów DEO do ABD oraz CFO do ABC wynika, że |EO|=|OF|. Z Twierdzenia Talesa dostajemy |AI|/|EO| = |IB|/|OF|, a stąd |AI|=|IB|. Podobnie pokazujemy |DH|=|HC|.

Rysunek do zadania 3.

 

Powrót na górę strony