luty 2016

Data ostatniej modyfikacji:
2016-03-28

Zad. 1. O jakim wynalazku mowa? Z jakim matematykiem on jest związany?
a) Dwukrotnie wydłużył życie astronomom.
b) Używali go artylerzyści do określenia ilości prochu potrzebnej do wystrzelenia pocisku.
c) Jako paliwo wykorzystywał deuter i tryt.

KordosZad. 2. W źródłach internetowych można znaleźć tzw. twierdzenie Kordosa, nazwane od nazwiska Marka Kordosa (ur. 1940) - profesora matematyki na Uniwersytecie Warszawskim, geometry, historyka i popularyzatora matematyki, redaktora naczelnego miesięcznika "Delta". Mówi ono, że jeśli jakieś pojęcie lub twierdzenie jest z nazwiskiem w nazwie, to nie jest to nazwisko autora definicji lub twierdzenia, czyli że pojęcie to zostało wprowadzone lub twierdzenie sformułowane przez kogoś zupełnie innego. Przykładem na prawdziwość twierdzenia Kordosa jest ono samo. Podaj trzy inne spektakularne przykłady zachodzenia twierdzenia Kordosa w matematyce.

Zad. 3. Podaj przykłady trzech popularnych gier planszowych wymyślonych przez znanych matematyków.

 

Wyniki: 

W tym miesiącu następujący zawodnicy uzyskali punkty:

  • 3 - Krystyna Lisiowska (redaktor z Warszawy), Szymon Meyer (II LO Opole), Bolesław Mokrski (nauczyciel z Gliwic), Wojciech Tomiczek (inżynier z Lipowej) 
  • 2,75 - Daria Bumażnik (II LO Jelenia Góra), Dominik Zygmunt (student bankowości i finansów cyfrowych na UŁ)
  • 2,25 - Adrian Szumski (konstruktor z Płocka)
  • 2 - Zygmunt Krawczyk (nauczyciel ze Szprotawy)
  • 1,75 - Krzysztof Danielak (student informatyki przemysłowej na PWr)
  • 1,5 - Małgorzata Gołdyn (I LO Jelenia Góra).

Po pięciu miesiącach trwania Ligi prowadzą:

  • Krystyna Lisiowska (13,75 pkt)
  • Bolesław Mokrski (13,5 pkt)
  • Wojciech Tomiczek (13,25 pkt)
  • Daria Bumażnik, Dominik Zygmunt (12,25 pkt)
  • Zygmunt Krawczyk (12 pkt)

Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1.

Jost BürgiJohn Napiera) Mowa o logarytmach i tablicach logarytmicznych, które ułatwiały obliczenia na dużych liczbach. Za wynalazcę logarytmów uznaje się szkockiego matematyka Johna Napiera (1550-1617), który opublikował swoje tablice logarytmów w 1614 roku, ale już około 1600 roku podobnego odkrycia dokonał szwajcarski zegarmistrz, mechanik, astronom i matematyk Jost Bürgi (1552-1632), który swoje tablice opublikował dopiero w 1620 roku pod tytułem "Arytmetyczne i geometryczne tablice postępów". Obliczał w nich wartości (1 + x/n)n dla dużych liczb n, co służy tym samym celom, co tablice logarytmów naturalnych. W 1617 roku angielski matematyk Henry Briggs (1561-1631) opublikował tablice logarytmów dziesiętnych liczb od 1 do 1000, a w ciągu kolejnych siedmiu lat (po spotkaniu z Neperem) ułożył i wydał tablice logarytmów dziesiętnych liczb od 1 do 20 000 i od 90 000 do 100 000 z dokładnością do 14 cyfr po przecinku. W książce "Brytyjska trygonometria" z 1633 roku Briggs zamieścił logarytmy dziesiętne sinusów i tangensów z taką samą dokładnością. To właśnie o tablicach Briggsa mawiano, że wydłużyły dwukrotnie życie astronomom.

Galileuszb) Chodzi o cyrkiel proporcjonalny - prosty przyrząd ułatwiający przeliczanie różnych wartości w oparciu o proporcje między nimi. Za twórcę tego instrumentu uznaje się włoskiego matematyka, astronoma i fizyka Galileusza (1564-1642), który w 1595 roku skonstruował cyrkiel geometryczno-wojskowy, a w 1597 roku wydał do niego instrukcję użycia "Le opperazioni del compasso geometrico e militare". W swoim mieszkaniu w Padwie założył wytwórnię tych przyrządów. Niektóre wykonywane były na specjalne zamówienia koronowanych głów. Stosowano go w architekturze, miernictwie, kartografii, astronomii, artylerii, matematyce i bankowości. Cyrkiel Galileusza szybko zdobył popularność i był kopiowany oraz modyfikowany przez wytwórców z całej Europy. Film o cyrklu proporcjonalnym z kolekcji Muzeum Uniwersytetu Wrocławskiego można obejrzeć na kanale YouTube tutaj.

Stanisław UlamEdward Tellerc) Mowa o bombie wodorowej (zwanej termojądrową). Pod jej patentem podpisani byli: amerykański fizyk węgierskiego pochodzenia Edward Teller (1908-2003) i polski matematyk z Lwowskiej Szkoły Matematycznej Stanisław Ulam (1909-1984), chociaż prace prowadzone były w większym zespole uczonych w laboratorium projektu Manhattan w Los Alamos w Nowym Meksyku (USA). W ładunku termojądrowy głównym źródłem energii wybuchu jest niekontrolowana i samopodtrzymująca się reakcja łańcuchowa, podczas której izotopy wodoru (najczęściej deuteru i trytu właśnie) łączą się pod wpływem bardzo wysokiej temperatury, tworząc w procesie fuzji nuklearnej hel. Niezbędna do zapoczątkowania fuzji temperatura uzyskiwana jest w drodze detonacji ładunku jądrowego. Pierwszy wybuch bomby wodorowej został przeprowadzony pod kierunkiem Tellera i Ulama 1 listopada 1952 na atolu Enewetak w archipelagu Wysp Marshalla w środkowej części Oceanu Spokojnego. Siła wybuchu bomby quot;Mike" wynosiła 10,4 megaton, czyli około 700 bomb jądrowych zrzuconych na Hiroszimę.

 

Zad. 2. Twierdzenie Kordosa znane też pod nazwą twierdzenia Arnolda zostało opublikowane po raz pierwszy w 1998 roku artykule "O nauczaniu matematyki" w rosyjskim czasopiśmie "Uspiechy Matematiczeskich Nauk", a po polsku w 2000 roku w "Postępach fizyki" i w 2001 w "Wiadomościach Matematycznych".

Oto kilka najbardziej przykładów zachodzenia twierdzenia Arnolda/kordosa w matematyce.

  • Reguła de l'Hospitala (obliczania granic wyrażeń nieoznaczonych) została sformułowana przez Johanna Bernuolliego (1667-1748), który odsprzedał prawa do niej swojemu uczniowi markizowi Guillaume'owi de l'Hospital (1661-1704), a ten opublikował ją w swoim podręczniku rachunku różniczkowego i całkowego. Nigdy natomiast nie twierdził, że jest jej autorem.
  • Wzory Cardana (na pierwiastki równań sześciennych) były odkryte niezależnie przez Scipiona del Ferro (1465-1526) i Nicolo Fontanę zwanego Tartaglią (1500-1557), a Girolamo Cardano (1501-1576) opublikował je w swojej książce "Ars Magna". Wzory uzyskał od Tartaglii i zobowiązał się, że ich nie ujawni, ale kiedy poznał notatki del Ferro i dowiedział się, że ten znał wzory wcześniej niż Fontana, uznał, że dane słowo już go nie obowiązuje.
  • Kartezjański układ współrzędnych wcześniej wprowadził Pierre de Fermat (1601-1665), ale wyników nie opublikował. Obaj z Kartezjuszem (1596-1650) wzorowali się na pomysłach Apoloniusza z Pergii (III w. p.n.e.). Spór między Fermatem i Kartezjuszem o pierwszeństwo wprowadzenia geometrii analitycznej zakończył się polubownie wzajemnym uznaniem zasług.
  • Schemat Hornera (obliczanie wartości wielomianu dla danego argumentu z minimalną liczbę mnożeń i algorytm dzielenia wielomianu przez x-c) był znany już Izaakowi Newtonowi (1642-1727) i Paolo Ruffiniemu (1765-1822) a także matematykom chińskim w XII wieku. William Horner (1786-1837) - nauczyciel matematyki - wprowadził tę zasadę do nauczania szkolnego. 
  • Zasada Cavaleriego (obliczania objętości brył o równych polach przekrojów) była zastosowana przez Archimedesa (III w. p.n.e.) do wyprowadzenia wzoru na objętość kuli. Bonaventura Cavalieri (1598-1647) opisał ją ponownie w swojej książce i spopularyzował.
  • Trójkąt Pascala był znany już w X wieku w Indiach, Persji i Chinach.
  • Funkcja dzeta Riemanna  ζ(x) = [tex] \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^x[/tex] była wcześniej badana w dziedzinie rzeczywistej przez Mikołaja Oresme (1320-1382), Jakuba (1654-1705) i Johanna (1667-1748) Bernoullich oraz Leonarda Eulera (1707-1783). Bernhard Riemann (1826-1866) badał tę funkcję w dziedzinie zespolonej i sformułował hipotezę o jej nietrywialnych miejscach zerowych, która stała się jednym z najsłynniejszych nierozwiązanych problemów matematyki.
  • Wstęga Möbiusa została opisana nieco wcześniej przez Johanna Listinga (1808-1882), który posunął się znacznie dalej w jej badaniu niż August Möbius (1790-1868), opisując np. własności n-krotnie skręconej wstęgi.
  • Dywan Sierpińskiego - jego konstrukcja została opisana po raz pierwszy przez Stefana Mazurkiewicza (1888-1945), co zresztą Wacław Sierpiński (1882-1969) zaznaczył wyraźnie w swojej pracy.
  • Wielościany archimedesowe (półforemne) pojawiły się dopiero w pracach Johannesa Keplera (1571-1630).
  • Wzór Eulera dla wielościanów znał już wcześniej i stosował Kartezjusz (1596-1650).

 

Zad. 3.

  • Edouard Lucas (1842-1891) - gry: Wieże Hanoi (1883) i Dots & Boxes (1889)
    Pierwsza gra jest inspirowana hinduską legendą o świątyni w Kashi Vishwanath, w której mnisi przekładają 64 złote dyski budując z nich trzy piramidy według zasad ustalonych przez Brahmę. Kiedy zadanie zostanie ukończone, nastąpi koniec świata. Gra w kropki odbywa się za pomocą ołówka sieci punktów kratowych.
  • Karol Borsuk (1905-1982) - gra Hodowla zwierzątek (1943)
    Wznowiona w 1997 roku (w 15 rocznicę śmierci autora) przez wydawnictwo Granna pod nazwą Superfarmer, a po modyfikacjach Michała Stajszczaka wydana jako Rancho. Podczas okupacji wydana własnym sumptem przez matematyka (zestawy kart wykonywała żona profesora - Zofia Borsukowa). Sprzedaż gry miała być sposobem na utrzymanie rodziny po tym, jak stracił pracę z powodu zamknięcia przez niemieckie władze okupacyjne Uniwersytetu Warszawskiego. Po latach jedyny zachowany (i to niekompletny) egzemplarz gry trafił do Muzeum Powstania Warszawskiego, gdzie można kupić dziś jego reprint.
  • Claude Shannon (1916-2001) - gra Switching Game
    David Gale
    (1921-2008) - gra Bridg-it
    Grę wymyślili niezależnie dwaj amerykańscy matematycy: Shannon z
    Massachusetts Institute of Technology i Gale z University California w Berkeley. Gra Shannona rozgrywana jest na dowolnym grafie, a w wersji Gale'a - na sieci kwadratów. W grafie z wyróżnionymi dwoma wierzchołkami A i B jeden z graczy (the Cut) rozcina krawędzie, a drugi (the Short) buduje drogę z A do B.
  • Piet Hein (1905-1966) - gra Hex (1942)
    John Nash (1928-2015) - gra Hex (1948)
    Duński matematyk Piet Hein wymyślił tę grę podczas prac nad zagadnieniem czterech barw. Rozpowszechniła się w kopenhaskim Instytucie Nielsa Bohra, gdzie jej autor studiował przed wojną, a potem pracował. Po wojnie stała się popularna w całej Danii. Została wydana w 1950 roku przez Parker Brothers pod nazwa The Zig-Zag Game.
    Amerykański matematyk i noblista John Nash wymyślił tę samą grę niezależnie i udowodnił, że w nie ma w niej remisów, a strategię wygrywającą ma zawsze gracz otwierający, bez względu na rozmiar planszy. Studenci Uniwersytetu w Princeton (gdzie Nash stworzył grę i gdzie była bardzo popularna) nazywali ją Nash i John. Do gry nagminnie używali jako planszy sześciokątnych kafelków w uczelnianych toaletach.
  • John Nash (1928-2015), Lloyd Shapley (1923-2016) - gra So Long Sucker (1950)
    Czteroosobowa strategiczna gra ekonomiczna polegająca na wyeliminowaniu konkurentów z rynku, nazwana przez Nasha Fuck You Buddy. Do grona jej autorów należy jeszcze dwóch specjalistów z zakresu matematyki finansowej - Mel Hausner i Martin Shibik. Wymyślili ją na Uniwersytecie w Princeton. Dwaj jej autorzy - specjaliści z zakresu teorii gier - zostali laureatami nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii.
  • John Convay (ur. 1937) - gra Life (1970)
    Jest to najbardziej znany przykład automatu komórkowego. Gra powstała z inspiracji pracami Stanisława Ulama. Została spopularyzowana przez Martina Gardnera na łamach Scientific American.

Reinera Knizię, Bernarda Tavitiana czy Blaise'a Müllera, mimo że są z wykształcenia matematykami, trudno uznać za "znanych matematyków", tym bardziej Józefa Pogodę - autora "Trójkąta Trzech Cesarzy". Gra Rithmomachia była znana już w starożytnej Grecji i trudno ustalić jednoznacznie jej autora.

 

Powrót na górę strony