luty 2016

luty 2016

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-16

Zad. 1. Pokaż, że liczba (2¹+1)·(2²+1)·(2⁴+1)·(2⁸+1)·...·(2⁶⁴+1) jest podzielna przez (2¹²⁸–1).

Zad. 2. Czy do wykresu funkcji y = x√3+√2 należą jakieś punkty kratowe tzn. punkty o obu współrzędnych całkowitoliczbowych?

Zad. 3. Udowodnij, że jeśli suma wysokości trójkąta jest dziewięć razy większa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt jest równoboczny.

Wyniki:

W tym miesiącu punkty zdobyli:

3 - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Kamil Demczyszyn Lotnicze Zakłady Naukowe Wrocław, Beata Janiak III LO Opole, Alina Langa I LO Oleśnica, Szymon Meyer II LO Opole, Błażej Mrzygłód Techn. nr 5 Opole, Mateusz Rzepecki III LO Wrocław, Николай Шамаев 131 Szkoła Ogólnokształcąca Charków (Ukraina) i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski;
2,5 - Konrad Bratek I LO Lwówek Śląski i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
2 - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Elżbieta Gontarz I LO Oleśnica, Dawid Hanrahan I LO Brzeg, Michał Kępiński Społeczne LO Żary i Karol Kowalski I LO Kraków.

Pozostałym uczestnikom nie przyznano punktów.

Po pięciu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 15 pkt. (na 15 możliwych) prowadzą: Bartosz Czyżewski, Николай Шамаев i Tomasz Stempniak. Drugie miejsce z wynikiem 14 pkt. zajmują: Szymon Meyer i Wojciech Wiśniewski. Trzecie miejsce z wynikiem 13,5 pkt. zajmują: Dawid Hanrahan i Alina Langa. Gratulujemy!

Odpowiedzi:

Zad. 1. Korzystając wielokrotnie ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)·(a+b)=a²-b² dostaniemy
(2¹-1)·(2¹+1)·(2²+1)·(2⁴+1)·(2⁸+1)·...·(2⁶⁴+1)=(2¹²⁸-1).
Stąd widać, że ta liczba jest podzielna przez (2¹²⁸-1), ponieważ jest ona równa (2¹²⁸-1).

Zad. 2. Załóżmy, że taki punkt kratowy istnieje i jest równy (x,y). Wtedy podnosząc obustronnie do kwadratu równanie y-√2=x√3 i robiąc odpowiednie przekształcenia przy założeniu, że y≠0 dostaniemy √2=^y/₂+¹/_y-³/_2y·x². Co jest niemożliwe ponieważ √2 jest liczbą niewymierną, a prawa strona równania jest liczbą wymierną. W przypadku punktu kratowego (x,0) dostajemy -√2=x√3, czyli x=-√²/₃ jest niewymierny co przeczy założeniu. Podsumowując nie istnieje punkt kratowy należący do wykresu tej funkcji.

Zad. 3. Niech h_a, h_b i h_c oznaczają wysokości tego trójkąta opuszczone odpowiednio na boki a, b i c. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt można obliczyć ze wzoru r=^2P/_a+b+c, gdzie P oznacza pole tego trójkąta. Z założenia mamy h_a+h_b+h_c=9r, uwzględniając wzory na pole trójkąta P=0,5ah_a=0,5bh_b=0,5ch_c, dostaniemy ^2P/_a+^2P/_b+^2P/_c=9·^2P/_a+b+c. Przekształcając dalej dostaniemy ¹/_a+¹/_b+¹/_c=3·³/_a+b+c i następnie ^a+b+c/₃=3·(¹/_a+¹/_b+¹/_c)^-1. Ostatnie równanie zawiera po lewej stronie średnią arytmetyczną, a po prawej stronie średnią harmoniczną, z nierówności Cauchy'ego wiemy, że równość taka zachodzi tylko dla a=b=c, czyli jest to trójkąt równoboczny.