maj 2012 - kredyty

Kredyt wszystkim kojarzy się z bankiem i jest to słuszne skojarzenie, ponieważ udzielanie kredytów to jedna z podstawowych funkcji banków i główne źródło ich dochodów. Kiedy potrzebujemy większej ilości pieniędzy, której nie posiadamy w całości (np. na dom, samochód lub inwestycje w firmie), zazwyczaj udajemy się do banku po kredyt. Niekiedy kredytów na zakupy udzielają też sieci handlowe.

Kredyt to umowa z bankiem (lub z inną firmą) na pożyczenie określonej kwoty pieniędzy na określonych warunkach. Banki są jednak nastawione na osiąganie zysku, więc chcą na tej działalności zarobić. Dlatego za udzielenie kredytu pobierają opłaty. Zaciągnięty w banku kredyt nie musi być zwrócony na raz, lecz może być spłacany w częściach nazywanych ratami. Najważniejsze sprawy ustalane w umowie kredytowej to: wysokość kredytu, okres, na jaki pożyczamy z banku pieniądze, kwota, jaką zarobi na tej pożyczce bank (czyli wysokość oprocentowania kredytu i ewentualne inne opłaty, którymi nie będziemy się tu zajmowali), sposób naliczania odsetek od kredytu oraz liczba i wysokość rat kredytu.

Raty kredytu dzielimy na dwa rodzaje - kapitałowe i odsetkowe. Rata kapitałowa to część kwoty kredytu, którą zwracamy bankowi. Raty te nie muszą być równe. Mogą być np. niższe na początku, a potem rosnąć. Natomiast rata odsetkowa to zysk banku, który stanowi określony ułamek raty kapitałowej lub kwoty kredytu, jaka pozostała do spłacenia. Sumę tych dwóch rat nazywamy ratą całkowitą.

Przykład 1. Bank udzielił panu Kowalskiemu kredytu w wysokości 2000 zł. W umowie kredytowej Kowalski zobowiązał się do spłaty kredytu w czterech równych ratach kapitałowych powiększonych o 10% (czyli 1/10) odsetek. Oblicz wysokość rat kapitałowych, odsetkowych i całkowitych. Jaki będzie zysk banku z udzielenia tej pożyczki?
Rozwiązanie. Raty kapitałowe są cztery i są równe, więc wynoszą 2000/4 = 500 zł. Rata odsetkowa stanowi 1/10 raty kapitałowej, czyli 1/10 z 500 zł = 50 zł. Wszystkie raty całkowite wynoszą po 500+50 = 550 zł. Bank pożyczył panu Kowalskiemu 2000 zł, a ten zwrócił 4·550 = 2200 zł, zatem zysk banku to 200 zł.

Harmonogram spłat rat kredytu przedstawia się często w tabeli, której przykład dla kredytu pana Kowalskiego zamieszczamy poniżej.

Przykład 2. Bank udzielił panu Nowakowi kredytu w wysokości 1000 zł. W umowie kredytowej Nowak zobowiązał się do spłaty kredytu w dwóch równych ratach kapitałowych
powiększonych o 10% (czyli 1/10) odsetek od kwoty pozostałej do spłacenia. Oblicz wysokość rat kapitałowych, odsetkowych i całkowitych. Jaki będzie zysk banku z udzielenia tej pożyczki?
Rozwiązanie. Raty kapitałowe są dwie i są równe, więc wynoszą 1000/2 = 500 zł. Pierwsza rata odsetkowa stanowi 1/10 z 1000 zł, czyli 100 zł. Druga rata odsetkowa stanowi 1/10 z 500 zł, czyli 50 zł. Zatem raty całkowite wynoszą odpowiednio 600 zł i 550 zł. Bank pożyczył panu Nowakowi 1000 zł, a ten zwrócił 600+550 = 1150 zł, zatem zysk banku to 150 zł.

Harmonogram spłat rat kredytu pana Nowaka wygląda więc następująco:

[koniec wykładu dla SP]

Klienci banku często dla wygody wybierają kredyt, którego rata całkowita jest stała, mimo że oprocentowanie naliczane jest od kwoty pozostałej do spłacenia (jak w przypadku kredytu pana Nowaka). Jak obliczyć wysokość takiej raty?

Niech K oznacza kwotę zaciągniętego kredytu, R - stałą ratę całkowitą, i - oprocentowanie kredytu w skali roku (tzn. ustalony procent od tej części kwoty K, jaka pozostała do spłacenia). Zakładamy, że raty całkowite są płacone na koniec każdego roku, a kredyt jest wzięty na n lat.

Kwota pozostałego do spłaty zadłużenia wraz z odsetkami wynosi:

• po pierwszym roku K·(1+i) - R,
• po drugim roku (K·(1+i)-R) · (1+i) - R = K·(1+i)² - R(1+i) - R,
• po trzecim roku (K·(1+i)²-R(1+i)-R) · (1+i) - R = K·(1+i)³ - R(1+i)² - R·(1+i) - R,
• ..........
• po n-tym roku K·(1+i)ⁿ - R·(1+i)^n-1 - ... - R·(1+i)² - R(1+i) - R.

Jednak po n-tym roku całość zadłużenia jest już spłacona, czyli ta ostatnia wielkość wynosi 0. Przyrównując to wyrażenie do zera i wykonując przekształcenia (korzystamy ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego), otrzymamy wzór na stałą ratę całkowitą kredytu:
[tex]R = K \frac{i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n-1}[/tex].

Przykład 3. Pan Terlecki pożyczył w banku 60 000 zł na 5 lat. Oprocentowanie w skali roku wynosi 10%. Raty całkowite mają być stałe i płacone na koniec roku. Oblicz wysokość raty całkowitej. Ile zarobi bank na tej pożyczce?
Rozwiązanie. Do wyprowadzonego powyżej wzoru podstawiamy K=60 000 zł, i=0,1 oraz n=5. Otrzymujemy [tex]R=60000 \cdot \frac{0,1 \cdot 1,1^5}{1,1^5-1}\approx 15827,85[/tex]. Rata całkowita w każdym roku będzie więc wynosiła 15 827,85 zł. Bank pożyczył panu Terleckiemu 60 000 zł, a ten zwrócił 5·15 827,85 = 79 139,25 zł, zatem zysk banku to 19 139,25 zł.

Harmonogram spłat rat kredytu pana Terleckiego wygląda więc następująco:

Zadanie 1. Supermarket "Nie dla idiotów" reklamuje się, że sprzedaje telewizory na kredyt z ratami "zero procent". Pan Kowalski skusił się i kupił telewizor o wartości 2 500 zł. Supermarket udzielił mu kredytu na rok i kwartał z ratami płatnymi co miesiąc w wysokości 167 zł. Czy faktycznie był to kredyt z ratami "zero procent"? Ile powinna wynosić w tej sytuacji miesięczna rata kredytu "zero procent"?

Zadanie 2. Pan Nowak pożyczył z zakładowej kasy pożyczkowej 300 zł na trzy tygodnie. Umówił się z pracodawcą, że na koniec każdego tygodnia będzie oddawał 1/3 długu powiększoną o 1/8 niezwróconej jeszcze kwoty. Ile będą wynosiły raty całkowite pana Nowaka? Ile pieniędzy odda on do kasy pożyczkowej?

Zadanie 3. Pan Terlecki zaciągnął kredyt w "Długi-m Banku" na okres 5 lat. Będzie go spłacał na koniec każdego roku w równych ratach kapitałowych po 20 000 zł. Rata odsetkowa na koniec pierwszego roku wynosi 20 000 zł i co roku maleje o 4 000 zł. Przygotuj harmonogram spłaty kredytu pana Terleckiego. Ile wynosiła kwota zaciągniętego przezeń kredytu?

Zadanie 1. Pan Kowalski zapomniał, ile wynosiło w skali roku oprocentowanie jego kredytu na samochód. Pamięta tylko, że spłacał go na koniec roku w równych ratach kapitałowych w wysokości 2000 zł. Znalazł też polecenie przelewu za ostatnią ratę całkowitą kredytu, na którym widniała kwota 2320 zł. Jakie było oprocentowanie roczne kredytu pana Kowalskiego?

Zadanie 2. Pan Nowak zaciągnął kredyt w wysokości 20 000 zł na 8 lat z oprocentowaniem 15% w skali roku. Umowa z bankiem przewiduje równe raty kapitałowe płatne na koniec każdego roku, a odsetki płacone są od niespłaconej kwoty. Przygotuj  harmonogram spłaty kredytu pana Nowaka.

Zadanie 3. Pan Terlecki wziął na 12 lat kredyt oprocentowany na 15% w skali roku. Kredyt ma być spłacony w równych ratach całkowitych płatnych na koniec każdego roku. W jakiej wysokości pan Terlecki zaciągnął kredyt, jeśli roczna rata całkowita wynosi 4000 zł?

Zadanie 1. Pan Kowalski wziął kredyt w wysokości 20 000 zł na 3 lata. Raty mają być płacone na koniec każdego roku, z tym że raty odsetkowe mają być równe i wynosić po 4 000 zł. Podaj harmonogram spłaty kredytu pana Kowalskiego. 

Zadanie 2. Pan Nowak zaciągnął kredyt w wysokości 30 000 zł na okres 5 lat. Jest on oprocentowany na 15% w skali roku i spłacany w równych ratach całkowitych na koniec każdego roku. Oblicz wysokość rocznej raty całkowitej. Po trzech latach pan Nowak wygrał na loterii i zdecydował się spłacić cały kredyt. Ile wyniesie go ostatnia rata całkowita? Ile zaoszczędzi, spłacając kredyt wcześniej?

Zadanie 3. Pan Terlecki wziął kredyt na 12 lat oprocentowany na 15% w skali roku. Ma go spłacić w równych ratach całkowitych płatnych na koniec każdego roku. Z powodu trudności finansowych bank zgodził się na zawieszenie pierwszych trzech rat kredytu i rozłożenie ich na pozostałe lata. W jakiej wysokości pan Terlecki zaciągnął kredyt, jeśli roczna rata całkowita przez ostatnie dziewięć lat spłaty wynosiła 4000 zł?