Zad. 1. W pudełku Tomka są dwie kredki zielone, dwie żółte i dwie niebieskie. Tomek wyciaga na chybił trafił dwie z nich. Jaka jest szansa, że używając ich, będzie mógł pokolorować coś na zielono?
Zad. 2. Świeżo wydobyta gąbka Spongilla lacustris ważyła 150 dag, a po odparowaniu 40% zawartej w niej wody jej zawartość w upolowanym okazie spadła do 54%. Ile będzie ważyć Spongilla lacustris po całkowitym osuszeniu?
Zad. 3. Jaka jest odległość środka krawędzi sześcianu jednostkowego od środka krawędzi do niej skośnej?
Zadania marcowe okazały się niezmiernie trudne. Maksymalną ocenę 3 pkt za nadesłane rozwiązania otrzymali tylko Antonia Biela, Szymon Budzyński oraz Antoni Machowski. 2,5 pkt przyznaliśmy Marcinowi Sidorowiczowi.
W sumarycznym rankingu prowadzą:
- z 18 pkt (na 18 możliwych!) - Antoni Machowski (Gim. 52 Kraków),
- z 17 pkt - Szymon Budzyński (Gim. 3 Wrocław) i Adrian Słodziński (Gim. Milicz),
- z 16,5 pkt - Antonina Biela (Gim. w Strzelcach Opolskich),
- z 16 pkt - Agata Kuć (Gim. 6 Płock),
- z 15,5 pkt - Liwia Ćwiek (Gim. 2 Złotoryja), Bartłomiej Polcyn (Gim. Mogilno) oraz zespół Ewa Bielak i Aleksandra Daniel (Gim. w Ustroniu Morskim),
- z 15 pkt - Adam Krasuski (Gim. 1 Mosina) i Marcin Sidorowicz (Gim. 49 Wrocław),
- z 14 pkt - Karolina Krzykawiak (Gim. 19 Wrocław),
- z 13 pkt - Daria Bumażnik (Gim. 1 Jelenia Góra), Natalia Marcinkiewicz (Gim. "Omega" Katowice) i Agata Sienicka.
Serdecznie wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Do uzyskania koloru zielonego można użyć kredki zielonej lub żółtej i niebieskiej, Tomkowi się więc nie powiedzie, tylko jeśli wyciągnie dwie kredki żółte lub dwie niebieskie, czyli w dwóch przypadkach, natomiast wszystkich rezultatów losowania jest tyle co dwuelementowych podzbiorów sześcioelementowego zbioru kredek, czyli 6·5/2 (wybieramy jeden element, potem drugi (z 5 pozostałych), przy czym efekt wyboru nie zależy od ich kolejności). Szansa, że Tomkowi się uda, to zatem 13/15.
Zad. 2. Niech w oznacza początkową masę wody w gąbce w dag, a t - masę jej tkanki. Mamy więc w+t=150 i 60%w/60%w+t=54%. Z drugiego równania otrzymujemy 60w=54(0,6w+t), czyli 9t=4,6w, a po podstawieniu w z pierwszego równania: 9t=4,6(150-t), skąd ostatecznie okazuje się, że odpowiedzią jest 1725/34 dag. Wielu Ligowiczów niepotrzebnie przybliżało ten wynik, przy czym nieraz robiło to niestety nieprawidłowo.
Zad. 3. Oznaczmy wierzchołki sześcianu przez A, B, C, D, A', B', C', D', tak żeby ABCD było ścianą, a AA', BB', CC' i DD' - krawędziami sześcianu. Należy zatem obliczyć długość PR, gdzie P jest środkiem AB, a R - środkiem CC'. Zauważmy, że kąt PCR jest prosty i z tw. Pitagorasa PC=√5/2. Również z tw. Pitagorasa mamy więc dalej PR2=5/4+1/4, czyli PR=√1,5=√6/2.
Pytanie
Mam pytanie związane z zadaniami z marca. Od kiedy kolory kredek łączą się? Farby rozumiem, ale kredki? Niech ktoś spróbuje namalować coś na żółto, a potem po tym niebieskim. I wyjdzie zielony? Nie, wyjdzie żołto-niebieski! Tam, gdzie mocniej przyciśnie się żółtą kredkę, będzie żółty, a tam, gdzie niebieską - będzie niebieski. NIE ZIELONY. I nie ma sie co dziwić, że nie wszyscy mieli maksymalną liczbę punktów. Można było napisać chociaż, że kolory można łączyć. Co do drugiego zadania - czy można podać, jakie przybliżenie powinno wyjść? Chciałam sobie sprawdzić, a nie jestem pewna, czy napisałam dobrze. Z góry dziękuję.
Odpowiedź
Współczesne kredki dają zwykle możliwość łatwego tworzenia barw mieszanych. W treści sugerowaliśmy, żeby to uwzględnić, podając akurat te trzy kolory, których zależność jest powszechnie znana, oraz pisząc o możliwości kolorowania na zielono zamiast po prostu o wyciągnięciu zielonej kredki. Jeśli chodzi o zad. 2, to wyniki działań matematycznych podaje się normalnie dokładnie, bez zaokrągleń. Jeśli zaś chce się jakąś wartość zaokrąglić, to ucina się jej rozwinięcie dziesiętne, zwiększając o 1 ostatnią pozostawianą cyfrę, jeśli po niej stało 5 lub więcej, chyba że tą ostatnią cyfrą jest 9 - wówczas do ułamka otrzymanego przez ucięcie zapisu po owej dziewiątce należy dodać 0,000...001, gdzie jedynka stoi na tej samej pozycji, co rozpatrywana dziewiątka. Podajemy dla przykładu zaokrąglenia liczby 0,123459876 (nie wiemy, jakie przybliżenie chciała zastosować Me): 0,12345988, 0,1234599, 0,123460, 0,12346, 0,1235, 0,123, 0,12, 0,1 i wreszcie 0.