Zad. 1. Ile jest liczb czterocyfrowych, które czytane od tyłu (tj. tak, że np. 5173 staje się liczbą 3715) stają się większe?
Zad. 2. Czy istnieje trójkąt, którego każdy kąt jest dzielony przez wychodzącą z jego wierzchołka wysokość w stosunku 1:2?
Zad. 3. Mieszkańcy Atlantydy wyobrażali sobie wszechświat jako płaszczyznę, na której wszystkie planety to wszystkie punkty kratowe (o obu współrzędnych całkowitych) z wyjątkiem punktu (0, 0), którym miało być Słońce. Nie znano innych obiektów astronomicznych. Czy w atlantydowym modelu wszechświata każdy promień słoneczny musi prędzej czy później trafić na jakąś planetę? Dlaczego?
Za rozwiązania zadań styczniowych maksimum, czyli 3 pkt. otrzymują: Rafał Chojna z PLO im. Królowej Jadwigi w Lublinie, Agata Maciocha z III LO w Opolu, Marta Makara z III LO w Bielsku-Białej, Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie, Jonatan Stokłosa z I LO w Legnicy i Justyna Wozowczyk i z I LO w Lubinie.
Po feriach czołówkę Ligi Szkół Ponadgimnazjalnych stanowią:
- 12 pkt (na 12 możliwych!) - Justyna Wozowczyk i Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie,
- 11 pkt - Agata Maciocha z III LO w Opolu.
- 9 pkt - Rafał Chojna z PLO im. Królowej Jadwigi w Lublinie.
Gratulujemy!
Zad. 1. Liczby, o które chodzi w zadaniu, mają pierwszą cyfrę mniejszą od czwartej (i pozostałe nie mają wówczas znaczenia) - 1_ _2, 1_ _3, ..., 1_ _9, 2_ _3, ..., 2_ _9, ..., 8_ _9 albo pierwszą cyfrę równą czwartej, a drugą mniejszą od trzeciej - _01_, _02_, ..., _09_, _23_, ..., _29_, ..., _89_. Liczb pierwszego typu jest (8+7+6+...+1)·100 , a drugiego (9+8+7+...+1)·9, w sumie 4005.
Zad. 2. Jeśli jeden kąt jest dzielony przez opuszczoną z jego wierzchołka wysokość na kąty α i 2α, to pozostałe dwa kąty trójkąta mają miary 90°–α i 90°–2α, natomiast wysokości poprowadzone z ich wierzchołków odetną z jednej strony kąty 90°–3α. Musiałoby to zatem być 1/3 większego z nich (czyli 90°–α) i jednocześnie 2/3 mniejszego (czyli 90°–2α). Mamy więc układ warunków: 90°–3α = (90°–α)/3 i 90°–3α = (180°–4α)/3, który jest jednak sprzeczny. Zatem trójkąt opisany w zadaniu nie istnieje.
Zad. 3. Jeśli promień natrafi na planetę o współrzędnych (k, l), to biegł on po prostej y=l/k·x. Ponieważ k i l są całkowite, współczynnik kierunkowy tej prostej jest liczbą wymierną. Nie natrafi zatem na planetę żaden promień biegnący po prostej o niewymiernym współczynniku kierunkowym.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
Czy to ma znaczenie?
Nie wiem, czy po 4,5 roku ma to znaczenie, ale trójkąt o kątach 6π/14, 5π/14 i 3π/14 spełnia warunki zadania. Zdanie 'musi to być 1/3 większego z nich' jest błędne.
Kąty
Nie spełnia - prosimy przeliczyć, ewentualnie narysować taką sytuację i przesłać nam w razie dalszych wątpliwości. Gdyby spełniał, rozumowanie zaprezentowane w rozwiązaniu byłoby błędne - gdzie zatem jest błąd?