Wyrażenia algebraiczne, równania, nierówności, układy równań* (kl. 3)

stopień trudności:

• podwyższony, sprawdzian przeznaczony dla klas matematycznych
• zadanie z (*) jest obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam poziom

ocenianie:

21-22 - celujący
18-20 - bardzo dobry
15-17 - dobry
11-14 - dostateczny
8-10 - dopuszczający
0-7 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania i obliczenia
• może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości z danego działu przed testem kompetencji

grupa A (22 pkt)

Zad. 1. (1 pkt) Kaszę wsypano do d dużych i m małych pudełek. Puste pudełka razem ważyły p kg. Po napełnieniu kaszą każde duże ważyło 0,8 kg a małe 0,5 kg. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego, ile waży kasza, którą wsypano do pudełek.

Zad. 2. (2 pkt) Dany jest czworokąt o bokach długości y, y+2, y+7, 4y–2. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego:
a) o ile krótszy jest bok o długości y+2 od sumy pozostałych boków,
b) jaką długość ma bok siedmiokąta foremnego o obwodzie równym obwodowi tego czworokąta.

Zad. 3. (3 pkt) Oblicz wartość wyrażenia.
a) (1+[tex]\frac{2}{x}[/tex]):(2x²)  dla x = 0,1

b) [tex]\frac{3a^2(2a^2 b^5)^2}{18(a^2b)^4b^4[/tex]  dla a = 3 i b = 99

Zad. 4. (2 pkt) Zapisz w postaci sumy algebraicznej.
a) pole trójkąta o boku 3a i wysokości opuszczonej na ten bok równej 2a+2
b) (2 - a)(3a + 4) - 8

Zad. 5. (2 pkt) Rozwiąż równanie z niewiadomą x.
[tex]\frac{x+1}{2}[/tex] − [tex]\frac{4x - 3}{3}[/tex] = [tex]\frac{1}{6}[/tex]

Zad. 6. (3 pkt) Rozwiąż nierówność 2 + (x-3)(x+4) ≤ (x+2)² – 2(x+6) i przedstaw rozwiązanie na osi liczbowej. Podaj wszystkie liczby całkowite ujemne spełniające tę nierówność.

Zad. 7. (3 pkt) Rozwiąż układ równań.
[tex] \left\{\begin{array}{rcl} \frac{x-y}{4}- \frac{x+y}{2}&=&1\\(y+2)^2 -y(y+3)&=&6-x\end{array}\right.[/tex]

Zad. 8. (3 pkt) Antykwariusz kupił dwie książki. Stosunek ich cen wynosił 3:2. Obie książki sprzedał za łączną kwotę 26,80 zł przy czym zysk ze sprzedaży droższej książki wyniósł 30% a tańszej 40% cen ich zakupu. Ile zapłacił antykwariusz za każdą książkę?.

Zad. 9. (1 pkt) Wyznacz c ze wzoru [tex]\frac{1}{c}[/tex] = [tex]\frac{a}{2}[/tex]+[tex]\frac{b}{2}[/tex].

Zad. 10*. (2 pkt) Wiadomo, że x²+y² = 5 i x+y = 2. Oblicz xy.

Grupa B (22 pkt)

Zad. 1. (1 pkt) Wsypano cukier do p dużych i r małych pudełek. Puste pudełka razem ważyły m kg. Po napełnieniu cukrem każde duże ważyło 0,9 kg a małe 0,6 kg. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego, ile waży cukier, który wsypano do pudełek.

Zad. 2. (2 pkt) Dany jest czworokąt o bokach długości x, x+3, x+4, 3x–1. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego:
a) o ile krótszy jest bok o długości x+4 od sumy pozostałych boków,
b) jaką długość ma bok sześciokąta foremnego o obwodzie równym obwodowi tego czworokąta.

Zad. 3. (3 pkt) Oblicz wartość wyrażenia.
a) (2+[tex]\frac{1}{x}[/tex]):(3x²)  dla x=0,1

b) [tex]\frac{6a^2(2a^3 b^5)^2}{16(a^2b)^5b^3[/tex] dla a=8 i b=88.

Zad. 4. (2 pkt) Zapisz w postaci sumy algebraicznej.
a) pole trójkąta o boku 4h+2 i wysokości opuszczonej na ten bok równej 5h
b) (2 - d)(3d + 3) - 6

Zad. 5. (2 pkt) Rozwiąż równanie z niewiadomą x.
[tex]\frac{2x - 4}{2}[/tex] – [tex]\frac{3x + 9}{3}[/tex] = 1 – x

Zad. 6. (3 pkt) Rozwiąż nierówność 2(x + 3)(x – 2) – 3(x – 1)² < 2x – x² i przedstaw jej rozwiązanie na osi liczbowej. Podaj wszystkie liczby całkowite nieujemne spełniające tę nierówność.

Zad. 7. (3 pkt) Rozwiąż układ równań
[tex] \left\{\begin{array}{rcl} \frac{x+y}{2}- \frac{x-y}{3}&=&1,5\\(x-1)^2 -x(x-3)&=&2y+3\end{array}\right.[/tex]

Zad. 8. (3 pkt) Sklep zakupił w hurtowni telefony komórkowe i telewizory. Za 30 telefonów i 12 telewizorów zapłacono 32 700 zł. W ciągu miesiąca sprzedano 75% telewizorów i 80% telefonów, uzyskując za te produkty 29 520 zł. Jaka jest cena detaliczna telewizora, a jaka telefonu komórkowego, jeżeli ze sprzedaży telewizora sklep miał 15% a z telefonu 20% zysku?

Zad. 9. (1 pkt) Wyznacz t ze wzoru [tex]\frac{1}{t}[/tex]=[tex]\frac{r}{3}[/tex]+[tex]\frac{s}{3}[/tex].

Zad. 10.* (2 pkt) Wiadomo, że x² + y² = 6 i x - y = 4. Oblicz xy.

odpowiedzi:

grupa A
1. (0,9 - m)p  + (0,6 - m)r 
2. a) 5x+2, b) x+1
3. a) 400, b) 0,(6)a^-2b², 726
4. 3a²+3a, b) -3a²+2a
5. {1,6}
6. (-∞, -2], -2, -1
7.  (5, -3)
8. I książka 8 zł, II książka 12 zł
9.  [tex]\frac{2}{a+b}[/tex]
10.  -0,5

grupa B
1. (0,8 - p)d  + (0,5 - p)m 
2. a) 5y-3, b) y+1
3. a) 1,05, b) 1,5a^-2b², 181,5
4. 10h²+5h, b) -3d²+3d
5. {1,6}
6. (-∞, 2,5), 0, 1, 2
7.  (4, 1)
8. telefon 540 zł, telewizor 1840 zł
9. [tex]\frac{3}{r+s}[/tex]
10. -5

kryteria oceniania

1. 1 pkt za odpowiedź
2. a) - b) po 1 punkcie za odpowiedź
3. a) 1 pkt za wynik, b) 1 pkt za uproszczone wyrażenie, 1 pkt za wynik
4. a) - b) po 1 punkcie za wynik
5. 1 pkt za wyliczenie x, 1 pkt za poprawne obliczenia, należy zwrócić uwagę, że rozwiązaniem równania jest zbiór liczb, a nie kolejne równanie x=1,6
6. 1 pkt za wyliczenie x, 1 pkt za wyliczenie y, 1 pkt za wynik, należy zwrócić uwagę, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór liczb, a nie kolejna nierówność np. x<2,5
7. 1 pkt za wyliczenie x, 1 pkt za poprawne obliczenia i graficzną ilustrację, 1 pkt za odpowiedź, należy zwrócić uwagę, ze rozwiązaniem układu równań jest para liczb, a nie kolejny układ równań np. x=4, y=1
8.  2 pkt za układ równań, 1 pkt za odpowiedź
9. 1 pkt za poprawne przekształcenie wzoru
10. 1 pkt za zapisanie równania z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia, 1 pkt za wynik