maj 2011 - renty

Renta najczęściej kojarzy się ze świadczeniem wypłacanym przez system ubezpieczeń społecznych w związku z niezdolnością do pracy (renta inwalidzka lub renta starcza zwana też emeryturą) albo śmiercią członka rodziny, który utrzymywał innych jej członków (renta rodzinna). Termin ten ma jednak szersze znaczenie.

Rentą będziemy nazywali płatności dokonywane w ustalonej wysokości, w określonych momentach w przyszłości, przez ustalony okres. Renta może być dochodem od posiadanego kapitału, może być przez kogoś ufundowana, albo wypłacana przez ubezpieczyciela. Osobę, która otrzymuje rentę inwalidzką, nazywamy rencistą, która otrzymuje rentę starczą (emeryturę) - emerytem, a która otrzymuje rentę kapitałową lub fundowaną - rentierem.

Przykładem renty mogą być 4 wypłaty w wysokości 10000 zł każda, ufundowane przez ciotkę Klotkę, dokonywane na koniec 2011, 2012, 2013 i 2014 roku. Dla takiego przyszłego ciągu płatności można obliczyć, ile one są warte w chwili obecnej, czyli ile pieniędzy ciotka Klotka musi włożyć na lokatę na początku, aby wypłaty były możliwe do zrealizowania.

Przykład 1. Ile pieniędzy należy włożyć na lokatę na początku 2011 roku, aby co roku wypłacać 10 000 zł aż do roku 2014, kiedy to stan lokaty powinien się wyzerować. Roczna stopa procentowa lokaty wynosi 5%.

•  Aby I wypłata (na koniec 2011 roku) wyniosła 10 000 zł, na koncie musi być kwota w, która spełnia w+5%w = 1,05w = 10000, czyli w = 10000/1,05.
• Aby II wypłata (na koniec 2012 roku) wyniosła 10 000 zł, na koncie musi być kwota x, która spełnia 1,05x + 5%(1,05x) = 1,05·(1,05x) = 1,05²x = 10000, czyli x = 10000/1,05².
• Aby III wypłata (na koniec 2013 roku) wyniosła 10000 zł, na koncie musi być kwota y, która spełnia 1,05²y + 5%(1,05²y) = 1,05·(1,05²y) = 1,05³y = 10000, czyli y = 10000/1,05³.
• Aby IV wypłata (na koniec 2014 roku) wyniosła 10000 zł, na koncie musi być kwota z, która spełnia 1,05³z + 5%(1,05³z) = 1,05·(1,05³z) = 1,05⁴z = 10000, czyli z = 10000/1,05⁴.

Dodając teraz kwoty w, x, y i z, otrzymamy łączną kwotę, którą należy ulokować na koncie na początku 2011 roku. Wynosi ona w+x+y+z = 10000·(1/1,05+1/1,05²+1/1,05³+1/1,05⁴) ≈ 10000·3,545951 = 35459,51 zł.

Przykład 2. Gdyby wypłaty w przykładzie 1. były robione nie na koniec, ale na początku każdego roku, obliczenia, jaką kwotę należy na początku roku 2011 ulokować na koncie, byłyby podobne.

• Aby I wypłata (na początku 2011 roku) wyniosła 10000 zł, na koncie musi być kwota w = 10000 zł.
• Aby II wypłata (na początku 2012 roku) wyniosła 10000 zł, na koncie musi być kwota x, która spełnia x+5%x = 1,05x = 10000, czyli x = 10000/1,05.
• Aby III wypłata (na początku 2013 roku) wyniosła 10000 zł, na koncie musi być kwota y, która spełnia 1,05y + 5%(1,05y) = 1,05·(1,05y) = 1,05²y = 10000, czyli y = 10000/1,05².
• Aby IV wypłaty (na początku 2014 roku) wyniosła 10000 zł, na koncie musi być kwota z, która spełnia 1,05²z + 5%(1,05²z) = 1,05·(1,05²z) = 1,05³z = 10000, czyli z = 10000/1,05³.

Dodając teraz kwoty w, x, y i z, otrzymamy łączną kwotę, którą należy ulokować na koncie na początku 2011 roku. Wynosi ona w+x+y+z = 10000·(1+1/1,05+1/1,05²+1/1,05³) ≈ 10000·3,723248 = 37232,48 zł.

Widać wyraźnie, że w przykładzie 2. należy znacznie więcej odłożyć na początku na lokacie bankowej na przyszłą rentę.

[koniec wykładu dla SP]

W przypadku wypłaty renty miesięcznej obliczenia są analogiczne, tylko należy uwzględnić nominalną stopę procentową kapitalizowaną miesięcznie.

Zadanie 1. Tomek mieszka i uczy się w małej miejscowości pod Wrocławiem. W przyszłym roku skończy szkołę podstawową. Mama chce go zabezpieczyć finansowo na czas nauki w gimnazjum i liceum we Wrocławiu. Tomek będzie wtedy mieszkał w szkole z internatem i będzie musiał opłacać pokój i posiłki. Mama ufundowała mu rentę na sześć lat. Wypłaty po 5000 zł mają być robione na koniec każdego roku, zaczynając od 2012. Jaką kwotę mama Tomka musi wpłacić do banku na początku 2012 roku, jeśli oprocentowanie lokat wynosi 5% w skali roku?

Zadanie 2. Ubezpieczyciel wypłaca dożywotnio panu Stanisławowi z tytułu uszczerbku na zdrowiu spowodowanego wypadkiem samochodowym na koniec każdego roku 24000 zł. Pan Stanisław wyjechał na wycieczkę dokoła świata na 5 lat. W tym czasie nie pobierał renty, a jej wypłaty umieszczał na osobistej lokacie bankowej. Jaką kwotę odbierze pan Stanisław po powrocie z wycieczki, jeśli oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi 5%?

Zadanie 3. Bolek i Lolek postanowili ufundować sobie nawzajem renty na 3 lata z wypłatami rocznymi po 15000 zł. Bolek chce pierwszą wypłatę dostać na koniec pierwszego roku, a Lolek - na początku. Oprocentowanie lokat w skali roku wynosi 5%. Który z braci zapłaci więcej za taką rentę i o ile?

Zadanie 4. Jak nazwiemy Tomka, Stanisława, Bolka i Lolka w zależności od rent, jakie pobierają?

Zadanie 1. Bolek i Lolek postanowili ufundować sobie nawzajem renty na 10 lat z wypłatami rocznymi po 5000 zł. Bolek chce pierwszą wypłatę dostać na koniec pierwszego roku, a Lolek - na początku. Oprocentowanie lokat w skali roku wynosi 4%. Który z braci zapłaci więcej za taką rentę i o ile?

Zadanie 2. Tomek mieszka i uczy się w małej miejscowości pod Wrocławiem. W przyszłym roku skończy gimnazjum. Mama chce go zabezpieczyć finansowo na czas nauki w liceum we Wrocławiu. Tomek będzie wtedy mieszkał w szkole z internatem i będzie musiał opłacać pokój i posiłki. Mama ufundowała mu rentę na trzy lata. Wypłaty po 500 zł mają być robione na koniec każdego miesiąca, zaczynając od stycznia 2012 roku. Jaką kwotę mama Tomka musi wpłacić do banku na początku 2012 roku, jeśli oprocentowanie nominalne kapitalizowane miesięcznie wynosi 4%?

Zadanie 3. Ubezpieczyciel wypłaca dożywotnio panu Stanisławowi z tytułu uszczerbku na zdrowiu spowodowanego wypadkiem samochodowym na koniec każdego miesiąca 2000 zł. Pan Stanisław wyjechał na wycieczkę dokoła świata na 5 lat. W tym czasie nie pobierał renty, a jej wypłaty umieszczał na osobistej lokacie bankowej. Jaką kwotę odbierze pan Stanisław po powrocie z wycieczki, jeśli oprocentowanie nominalne kapitalizowane miesięcznie wynosi 4%?

Zadanie 4. Jak nazwiemy Bolka, Lolka, Tomka oraz Stanisława z zadania dla GIM i Stanisława z zadania dla LO w zależności od rent, jakie pobierają?

Zadanie 1. Bolek i Lolek postanowili ufundować sobie nawzajem renty na 5 lat z wypłatami miesięcznymi po 1000 zł. Bolek chce pierwszą wypłatę dostać na koniec pierwszego miesiąca, a Lolek - na początku. Oprocentowanie nominalne lokat kapitalizowane miesięcznie wynosi 4%. Który z braci zapłaci więcej za taką rentę i o ile?

Zadanie 2. Pan Stanisław, zanim uległ wypadkowi samochodowemu, pracował 25 lat i co miesiąc odkładał na poczet przyszłej renty starczej odkładał 20% swojej pensji. Przez pierwszych 10 lat zarabiał 2000 zł, przez następnych 10 lat - 3000 zł, a przez ostatnich 5 lat - 4000 zł. Po wypadku pan Stanisław był niezdolny do pracy i przez 5 lat był bezrobotny, więc nie odkładał nic na poczet renty (w tym czasie pojechał na wycieczkę dookoła świata). Następnie przez 10 lat pobierał ze swojej lokaty na koniec każdego miesiąca rentę w równych kwotach. Załóżmy, że przez ostatnie 40 lat oprocentowanie nominalne kapitalizowane miesięcznie było stałe i wynosiło 4%. Ile renty co miesiąc dostawał pan Stanisław?

Zadanie 3. Jeśli roczna stopa procentowa wynosi p%, to jaka jest różnica pomiędzy rentą wypłacaną przez n lat na początku i na końcu każdego roku?

Zadanie 4. Wyprowadź wzór na zakumulowaną wartość renty wypłacanej na koniec miesiąca przez n lat przy nominalnej stopie procentowej kapitalizowanej miesięcznie i⁽¹²⁾. Zakumulowana wartość jest w tym przypadku równoważna nieodbieraniu renty tylko jej ponownym inwestowaniu na rachunku bankowym.