Zad. 1. Liczbę 2022 przedstaw w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Zad. 2. W kwadracie długość przekątnej jest o 2 większa od długości boku. Wyznacz pole tego kwadratu.
Zad. 3. Czy suma trzech kolejnych liczb naturalnych może być liczbą pierwszą? Odpowiedź uzasadnij
W październiku punkty zdobyli:
- 3 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Urszula Derkacz XL LO Warszawa, Klaudiusz Drzewiecki VII LO Legnica, Aleksander Kiszkowiak I TE Warszawa, Aleksandra Strzelecka LO Jarocin, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław;
- 2 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Marek Chotnicki II LO Oleśnica, Jakub Garbaczewski II LO Oleśnica, Ewa Kucharska I LO Leszno, Aleksandra Niedbała L LO Warszawa, Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 1 – Radosław Górzyński I LO Lubin, Miłosz Olszewski I LO Głubczyce.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Dzielniki liczby 2022 to: 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011 i 2022. Zachodzi 2022 = 2022.1 = 1011.2 = 674.3 = 337.6. Szukamy liczb n i k, dla których 2022 = n2–k2 = (n–k)(n+k). Otrzymujemy układy równań n+k = 2022 i n–k = 1 lub n+k = 1011 i n–k = 2, lub n+k = 674 i n–k = 3, lub n+k = 337 i n–k = 6. Rozwiązania tych układów nie są liczbami naturalnymi, zatem liczby 2022 nie można zapisać w postaci różnicy kwadratów liczb naturalnych.
Zad. 2.
Oznaczmy przez a długość boku kwadratu. Wówczas długość przekątnej wynosi a√2. Z treści zadania wynika, że a√2 = a+2, skąd a = 2√2+2. Pole kwadratu wynosi a² = (2√2+2)² = 12+8√2.
Zad. 3. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 3 (dlaczego?), a pozostałe dwie dają z dzielenia przez 3 reszty 1 i 2 (dlaczego?). Stąd wynika, że suma tych trzech liczb jest zawsze podzielna przez 3. Aby była to liczba pierwsza, suma ta musiałaby być równa 3, ale najmniejsza taka suma to 1+2+3 = 6. Zatem suma trzech kolejnych liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą. Uwaga. Jeżeli przyjmiemy, że 0∈N, to 0+1+2 = 3 jest jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunki zadania. Jednak liczba zero jest przyjmowana za naturalną w teorii zbiorów, a nie w arytmetyce.
