styczeń 2017

styczeń 2017

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-17

Zad. 1. Rozwiąż układ równań:
x² + xy – 2y² = -5
x² + 2xy + y² = 1

Zad. 2. Kwadraty z rysunku mają wspólny wierzchołek A, a punkt M jest środkiem odcinka PU. Pokaż, że AM jest połową RS.

Zad. 3. Liczba 12 może być rozłożona na iloczyn trzech czynników z uwzględnieniem ich kolejności na 18 sposobów (np. 1·3·4, 1·4·3, 2·2·3, 2·3·2 itd). Niech N będzie liczbą sekund w tygodniu. Na ile sposobów można rozłożyć N na iloczyn trzech czynników?

Odpowiedzi:

Zad. 1. Mamy równoważnie (3x–2y)(x+y)=-5 i (x+y)2=1. Z drugiego równania x+y=1 lub x+y=-1.
Zatem 3x–2y=-5 i x+y=1 albo
3x–2y=5 i x+y=-1.
Rozwiązując te układy otrzymujemy pary (^-3/₅, ⁸/₅) i (³/5, ^-8/₅).

Zad. 2. Przedłużmy odcinek AM, aby dostać równoległobok AUBP. Przekątn e równoległoboku połowią się, więc M jest środkiem AB, a AM jest połową AB. Wystarczy teraz pokazać, że trójkąty APB i RAS są przystające (bkb) i stąd wynika teza. Zachodzi PA ≡ AR jako boki kwadratu oraz BP ≡ UA (jako boki równoległoboku) AS (jako boki kwadratu). Zachodzi też ∡BPA + ∡PAU = 180⁰ (jako kąty równoległoboku), a także ∡RAS + ∡PAU = 180⁰ (bo razem z dwoma kątami prostymi dają kąt pełny). Wobec tego ∡BPA ≡ ∡PAU, ckd.

Zad. 3. Mamy 7 ^.24 ^. 60² = 2^7 .3 ³ ^.5 ^2 . 7. Każdy czynnik pierwszy występujący w potędze n można przydzielić do jednego z trzech czynników na [tex]{{n+2}\choose{2}}[/tex] sposoby. Każdy z czynników przydzielamy do grup niezależnie od pozostałych, dlatego stosujemy regułę iloczynu. Wszystkich podziałów jest więc [TEX]{{9}\choose{2}}{{5}\choose{2}}{{4}\choose{2}}{{3}\choose{2}} = 36 \cdot 10\cdot 6\cdot3 = 6480. [/TEX]