Zad. 1. Dla jakich liczb naturalnych n liczba n+1 jest dzielnikiem liczby n2+1?
Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne, które da się przedstawić w postaci sumy dwóch względnie pierwszych liczb naturalnych większych od 1.
Zad. 3. Wyznacz wszystkie czwórki kolejnych liczb naturalnych, których iloczyn jest kwadratem.
W tym miesiącu nikomu nie przyznano punktów.
Zad. 1. Zauważmy, że n+1 jest dzielnikiem liczby n2–1. Aby dzieliła także n2+1, musi być dzielnikiem różnicy obu liczb, czyli dwójki. Sprawdzamy dwa przypadki (n=0, n=1) i dla obu otrzymujemy odpowiedź twierdzącą.
Zad. 2. Jeżeli n jest nieparzysta i większa od 3, to da się ją przedstawić w postaci n = 2k+1 = k + (k+1), gdzie oba składniki są względnie pierwsze. Jeśli n jest podzielna przez 4 i większa od 4, mamy n = 2k = (k–1)+(k+1), gdzie oba składniki są sąsiednimi liczbami nieparzystymi większymi od 1, czyli również są względnie pierwsze. Gdy zaś n jest większa od 6, parzysta, ale niepodzielna przez 4, zapisujemy ją jako n = 2k = (k–2)+(k+2). Mamy NWD(k–2, k+2) = NWD(k–2, 4) = 1 (właściwe są skojarzenia z algorytmem Euklidesa), co pozostawia do sprawdzenia liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 6. Łatwo sprawdzić, że nie spełniają one warunków zadania.
Zad. 3. Iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych to n(n+1)(n+2)(n+3) = n4+6n3+11n2+6n. Zauważamy, że jest to liczba o jeden mniejsza od n4+6n3+11n2+6n+1 = (n2+3n+1)2. Dwie kolejne liczby naturalne są kwadratami wtedy i tylko wtedy, gdy mniejsza z nich jest zerem. Wobec tego jedyna czwórka kolejnych liczb naturalnych, której iloczyn jest kwadratem, zaczyna się od zera: 0, 1, 2, 3.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
Iloczyn jest kwadratem?
Chodzi o to, że iloczyn jest kwadratem liczby naturalnej?
Odp.
Tak. Liczba kwadratowa (lub krócej kwadrat) to iloczyn liczby naturalnej przez siebie (kwadrat liczby naturalnej).